احتمال حادثتين غير مستقلتين

غير مستقلة

الأول يؤثر على الثاني

P(B|A)

احتمال B بشرط A

بدون إرجاع

العدد ينقص بعد كل سحب

١ مستقلة أم غير مستقلة؟

مع الإرجاع

مستقلة

العدد يبقى ثابتاً — A لا تؤثر على B

بدون إرجاع

غير مستقلة

العدد ينقص — A تؤثر على احتمال B

— الطريقة السريعة: هل السحبة الأولى تغيّر عدد العناصر في الثانية؟ — إذا نعم → غير مستقلة.

٢ قانون الاحتمال المشروط

P(A \cap B) = P(A) \times P(B \mid A)

P(B|A) احتمال B بشرط أن A قد حدث

غير مستقلة P(A) × P(B|A) — P(B|A) يتغير

مستقلة P(A) × P(B) — P(B) ثابت

٣ مثال الصندوق والكور — تفاعلي

صندوق فيه ٣ كور — نسحب بدون إرجاع. اضغط على الخطوات:

السحبة الأولى: ٣ كور في الصندوق → P(A) = 1/3

٤ الحل المفصل خطوة بخطوة

ما احتمالية سحب كورة صفراء أولاً ثم خضراء ثانياً بدون إرجاع؟

الخطوة ١

P(A) = \frac{1}{3}

الخطوة ٢

P(B \mid A) = \frac{1}{2}

الخطوة ٣

P(A \cap B) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6}

P(صفراء ثم خضراء بدون إرجاع) = 1/6 ≈ 16.7%

٥ أمثلة إضافية

مثال ٢ — نفس المسألة مع الإرجاع (مستقلة):

الوضعكورتان في الصندوق لا تتغير

الحساب

\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9} \approx 11.1\%

— الاحتمال مع الإرجاع (⅑) أقل من بدون إرجاع (⅙) في هذه الحالة.

مثال ٣ — خضراء ثم خضراء أخرى (بدون إرجاع):

الوضعلا توجد خضراء ثانية بعد سحب الأولى

الحساب

P(B \mid A) = 0 \Rightarrow P = 0

— حدث مستحيل: استُنفدت الكورة الخضراء الوحيدة في السحبة الأولى.

∑ مقارنة: مع وبدون إرجاع

✓ الخلاصة

— غير المستقلة: حدوث A يغيّر احتمالية B — نستخدم P(B|A) لا P(B).

— القانون: P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A).

— بدون إرجاع: العدد ينقص فتتغير الاحتمالات في كل خطوة.

— حدث مستحيل: إذا استُنفد العنصر فـ P(B|A) = 0 والناتج = 0.

الشرح