مساحة المثلث بدلالة الزاوية

رياضيات — المثلثات

الهدف: حساب مساحة أي مثلث باستخدام ضلعين والزاوية المحصورة بينهما، وفهم لماذا تبلغ المساحة ذروتها عند 90°.

القاعدة الجديدة

½ × a × b × sin C

أقصى مساحة

عند الزاوية 90° لأن sin 90° = 1

الصيغ الثلاث

أي ضلعين + زاويتهما المحصورة

القاعدة التقليدية ومحدوديتها

— القاعدة التي تعلمناها تعتمد على القاعدة والارتفاع:

S = \frac{1}{2} \times q \times h

حيث q = القاعدة، h = الارتفاع

التحدي

— في المثلثات غير القائمة والمنفرجة يصعب إيجاد الارتفاع مباشرةً.

— نحتاج إلى قاعدة أشمل تعمل مع أي مثلث باستخدام ضلعين والزاوية بينهما.

القاعدة الجديدة

— إذا عرفنا ضلعين a و b والزاوية C المحصورة بينهما، فإن المساحة S تساوي:

S = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin C

— يمكن استخدام أي زوج من الأضلاع مع زاويتهما المحصورة:

S = \frac{1}{2} ab\sin C = \frac{1}{2} bc\sin A = \frac{1}{2} ac\sin B

العلاقة بالقاعدة التقليدية — الزاوية القائمة

— عند الزاوية القائمة، يساوي جيب الزاوية ١:

\sin 90° = 1

— فتصبح القاعدة الجديدة:

S = \frac{1}{2} \times a \times b \times 1 = \frac{1}{2} \times a \times b

القاعدة الجديدة أشمل — وتتحول إلى القاعدة التقليدية عند الزاوية القائمة

استكشف تأثير الزاوية على المساحة

— حرّك المتحكم لترى كيف تتغير مساحة المثلث مع الزاوية C (مع تثبيت a = 5 و b = 4):

C = 60°

— اسحب النقطة على المنحنى أو حرّك السلايدر لاستكشاف قيمة جيب الزاوية:

θ = 60°

ملاحظة

— المساحة تزداد من 0° حتى 90°، ثم تتناقص من 90° حتى 180°.

— مثلثان بأضلاع متساوية وزاويتان مكملتان (مثل 45° و 135°) لهما نفس المساحة لأن sin θ = sin(180° − θ).

أمثلة تطبيقية

— مثال ١: مثلث ABC، AB = 8، AC = 6، الزاوية A = 30°. أوجد المساحة.

— نطبق القاعدة:

S = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 \times \sin 30°

— بما أن sin 30° = 0.5:

S = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 \times 0.5 = 12

المساحة = 12 سم²

— مثال ٢: مثلث XYZ، XY = 10، XZ = 7، الزاوية X = 120°. أوجد المساحة.

— الزاوية منفرجة، لكن القاعدة تعمل بنفس الطريقة:

S = \frac{1}{2} \times 10 \times 7 \times \sin 120°

— sin 120° = sin(180° − 60°) = sin 60° ≈ 0.866:

S = \frac{1}{2} \times 10 \times 7 \times 0.866 = 30.31

المساحة ≈ 30.31 سم²

— مثال ٣: ثلاثة مثلثات بأضلاع a = 5، b = 8، وزوايا 45°، 90°، 135°. قارن المساحات.

— عند 45°:

S_1 = \frac{1}{2} \times 5 \times 8 \times \sin 45° = 20 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 14.14

— عند 90°:

S_2 = \frac{1}{2} \times 5 \times 8 \times 1 = 20

— عند 135°:

S_3 = \frac{1}{2} \times 5 \times 8 \times \sin 135° = 20 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 14.14

م₁ = م₃ ≈ 14.14 سم² | م₂ = 20 سم² (الأكبر عند 90°)

ملخص

الزاوية C	قيمة sin C	المساحة (a=5, b=4)
0°	0	0
30°	0.5	5
90°	1 (القمة)	10 (الأقصى)
150°	0.5	5
180°	0	0

الخلاصة

— القاعدة: المساحة = ½ × a × b × sin C، حيث C الزاوية المحصورة بين a و b.

— أقصى مساحة: تحدث عند C = 90° لأن sin 90° = 1.

— التماثل: زاويتان مكملتان (θ و 180°−θ) تعطيان نفس المساحة.

— الحالة الخاصة: عند C = 90° تتحول القاعدة إلى ½ × قاعدة × ارتفاع كما في فيثاغورس.

مساحة المثلث بالقانون العام

الشرح

مساحة المثلث بدلالة الزاوية

القاعدة التقليدية ومحدوديتها

القاعدة الجديدة

العلاقة بالقاعدة التقليدية — الزاوية القائمة

استكشف تأثير الزاوية على المساحة

أمثلة تطبيقية

ملخص

الخلاصة