دالة الكوتانجنت cot(x)

رياضيات — المثلثات

الهدف: فهم دالة الكوتان كمقلوب دالة التان، ودراسة مجالها ومداها وخطوطها المقاربة وعلاقتها بالتان.

التعريف

cot = cos / sin = 1/tan

المجال

ℝ − {n·180°}

الدورة

180° كدالة التان

تعريف دالة الكوتان

— الكوتان هي مقلوب التان: ما تساويه التان صفراً تذهب فيه الكوتان إلى ما لا نهاية، والعكس صحيح.

\cot x = \frac{1}{\tan x} = \frac{\cos x}{\sin x}

— نقاط عدم التعريف: حيث sin x = 0، أي عند x = n·180°.

— أصفار الدالة: حيث cos x = 0، أي عند x = 90° + n·180°.

ملاحظة

— الكوتان معرّفة عند 90° وتساوي صفراً — بعكس التان التي تذهب إلى ما لا نهاية هناك.

العلاقة بين التان والكوتان

— عندما tan = 0 فإن cot = ±∞ (خط مقارب).

— عندما tan = ±∞ فإن cot = 0 (صفر للدالة).

— عند الزاوية 45°:

\cot 45° = \frac{1}{\tan 45°} = \frac{1}{1} = 1

— عند الزاوية 135°:

\cot 135° = \frac{1}{\tan 135°} = \frac{1}{-1} = -1

— التحقق بالصيغة المباشرة عند 45°:

\cot 45° = \frac{\cos 45°}{\sin 45°} = \frac{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}{\tfrac{\sqrt{2}}{2}} = 1

cot(45°) = 1 — cot(90°) = 0 — cot(0°) = ±∞

الرسم البياني — cot مقارنةً بـ tan

— حرّك الشريط لاستكشاف قيمتَي tan وcot — فعّل/أوقف إظهار التان بالزر:

الزاوية: 90°

━━ cot(x) - - - tan(x) ⋯ خطوط مقاربة

خصائص دالة الكوتان

— المجال: جميع الأعداد الحقيقية عدا x = n·180°.

x \neq n \cdot 180° \quad (n \in \mathbb{Z})

— المدى: جميع الأعداد الحقيقية.

— الدورة: 180° — نفس دورة التان.

— الأصفار: عند x = 90° + n·180°.

— الخطوط المقاربة: عند x = n·180° (حيث sin = 0).

— الاتجاه: الدالة تتناقص في كل فترة من فتراتها.

ملاحظة

— دالة التان خطوطها المقاربة عند 90° + n·180°، أما الكوتان فخطوطها عند n·180° — المواضع معكوسة.

نقطة متحركة على cot(x)

— اضغط "تشغيل" لمشاهدة النقطة تتحرك على المنحنى وتصل إلى الأصفار والخطوط المقاربة:

مقارنة: tan مقابل cot

الخاصية	tan(x)	cot(x)
التعريف	sin/cos	cos/sin
الخطوط المقاربة	90° + n·180°	n·180°
الأصفار	n·180°	90° + n·180°
الدورة	180°	180°
الاتجاه	تتزايد	تتناقص

الخلاصة

— cot = cos/sin = 1/tan: مقلوب التان تماماً.

— الخطوط المقاربة: عند n·180° — أين التان تكون صفراً.

— الأصفار: عند 90° + n·180° — أين التان تذهب إلى ما لا نهاية.

— الدورة والمدى: مثل التان تماماً — 180° وجميع الأعداد الحقيقية.

دالة الكوتان

الشرح