دالة السيكانت

رياضيات — الدوال المثلثية

الهدف: فهم دالة السيكانت وعلاقتها بدالة الكوساين، وتحديد خصائصها وتطبيقها في حل المسائل.

التعريف

معكوس دالة الكوساين

المدى

لا توجد قيم بين −1 و 1

الدورة

360° أو 2π راديان

تعريف دالة السيكانت

— دالة السيكانت هي معكوس دالة الكوساين، وهي إحدى الدوال المثلثية الست.

\sec(\theta) = \frac{1}{\cos(\theta)}

— في المثلث القائم، السيكانت يُعرَّف بالنسبة بين الوتر والضلع المجاور:

sec(θ) = الوتر الضلع المجاور

ملاحظة

— دالة السيكانت غير معرّفة عندما يكون cos(θ) = 0، أي عند الزوايا: 90°، 270°، 450°، ...

— بشكل عام: غير معرّفة عند 90° + 180°×n حيث n عدد صحيح.

خصائص دالة السيكانت

— المجال: جميع الأعداد الحقيقية عدا 90° + 180°n.

— المدى: القيم أكبر من أو تساوي 1، أو أصغر من أو تساوي −1.

(-\infty,\,-1] \cup [1,\,+\infty)

— الدورة: تتكرر الدالة كل 360° أو 2π راديان.

— الدالة زوجية: تحقق الخاصية التالية:

\sec(-\theta) = \sec(\theta)

— متطابقة فيثاغورس: علاقة مهمة بين السيكانت والتانجنت:

\sec^2(\theta) = 1 + \tan^2(\theta)

ملاحظة

— القيمة المطلقة دائماً أكبر من أو تساوي 1:

|\sec(\theta)| \geq 1

الرسم البياني التفاعلي

— استخدم المتحكم لاستكشاف تأثير المعامل a على دالة السيكانت:

a = 1

الدالة: sec(x) × 1

قراءة الرسم

— الخطوط المتقطعة الرمادية تمثل مواقع الرفوع اللامتناهية (عدم التعريف).

— المنحنى الخفيف يُمثّل دالة الكوساين للمرجع.

— المنحنى لا يعبر المنطقة بين −1 و 1.

القيم الخاصة

— الزوايا الشائعة وقيم السيكانت المقابلة لها:

الزاوية	الراديان	sec(θ)
0°	0	1
30°	π/6	2√3 / 3
45°	π/4	√2
60°	π/3	2
120°	2π/3	−2
180°	π	−1
240°	4π/3	−2

أمثلة محلولة

مثال ١: احسب قيمة sec(240°).

— 240° = 180° + 60°، إذن الزاوية في الربع الثالث.

— نجد قيمة الكوساين أولاً:

\cos(240°) = -\cos(60°) = -\frac{1}{2}

— ثم نحسب السيكانت:

\sec(240°) = \frac{1}{-\frac{1}{2}} = -2

الإجابة: sec(240°) = −2

مثال ٢: إذا كان sec(θ) = 2، أوجد θ في الفترة [0°, 360°).

— نحوّل إلى معادلة كوساين:

\sec(\theta) = 2 \implies \cos(\theta) = \frac{1}{2}

— الكوساين موجب في الربعين الأول والرابع:

\theta = 60°

\theta = 360° - 60° = 300°

الإجابة: θ = 60° أو θ = 300°

مثال ٣: بسّط التعبير sec(x) × cos(x).

— نستبدل بالتعريف مباشرةً:

\sec(x) \times \cos(x) = \frac{1}{\cos(x)} \times \cos(x) = 1

الإجابة: sec(x) × cos(x) = 1

مثال ٤: في مثلث قائم، الوتر = 10 سم والضلع المجاور = 6 سم. أوجد sec(θ) والزاوية θ.

— نحسب السيكانت مباشرةً:

\sec(\theta) = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}

— نجد الزاوية عبر الكوساين:

\cos(\theta) = \frac{3}{5} = 0.6 \implies \theta \approx 53.13°

الإجابة: sec(θ) = 5/3 والزاوية θ ≈ 53.13°

ملخص الخصائص

الخاصية	القيمة
التعريف	sec(θ) = 1 / cos(θ)
المجال	كل الأعداد عدا 90° + 180°n
المدى	(-∞, -1] ∪ [1, +∞)
الدورة	360° أو 2π
نوع الدالة	زوجية: sec(−θ) = sec(θ)
متطابقة فيثاغورس	sec²(θ) = 1 + tan²(θ)

الخلاصة

— التعريف: دالة السيكانت هي مقلوب الكوساين، تُكتب sec(θ) = 1/cos(θ).

— المدى: لا توجد قيم بين −1 و 1، لأن |sec(θ)| ≥ 1 دائماً.

— عدم التعريف: الدالة غير معرّفة عند كل زاوية يكون فيها الكوساين صفراً.

— الدورة: تتكرر كل 360° أو 2π راديان، وهي دالة زوجية.

— متطابقة فيثاغورس: sec²(θ) = 1 + tan²(θ) متطابقة أساسية مفيدة في التبسيط.

دالة السيكانت

الشرح

دالة السيكانت

تعريف دالة السيكانت

خصائص دالة السيكانت

الرسم البياني التفاعلي

القيم الخاصة

أمثلة محلولة

ملخص الخصائص

الخلاصة