الحوادث المستقلة vs المتنافية

رياضيات — الاحتمالات

الهدف: التمييز بين مفهومَي الاستقلالية والتنافي، ومعرفة متى نضرب الاحتمالات ومتى نجمعها.

مستقلة / غير مستقلة

أكثر من حدث — نضرب

متنافية / غير متنافية

حدث واحد بدائل — نجمع

القاعدة الذهبية

هل عندك أكثر من حدث؟

القاعدة الذهبية للتمييز

— السؤال الوحيد الذي تحتاجه: هل عندك أكثر من حدث واحد؟

— نعم (أكثر من حدث) ← مستقلة أو غير مستقلة ← نضرب ← الناتج يقل.

— لا (حدث واحد بنتائج بديلة) ← متنافية أو غير متنافية ← نجمع ← الناتج يزيد.

الكلمة المفتاحية

— "و" (AND): أكثر من حدث ← نضرب ← احتمالية ترتفع المشروطية.

— "أو" (OR): بدائل في حدث واحد ← نجمع ← الاحتمالية تزيد.

التعريفات والقوانين

— الحوادث المستقلة: حدوث A لا يؤثر على احتمالية B.

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

— الحوادث غير المستقلة: حدوث A يؤثر على احتمالية B.

P(A \cap B) = P(A) \times P(B \mid A)

— الحوادث المتنافية: لا يمكن حدوث A وB معاً.

P(A \cap B) = 0 \qquad P(A \cup B) = P(A) + P(B)

— الحوادث غير المتنافية: يمكن حدوث A وB معاً.

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

مثال الكور — تفاعلي

— صندوق فيه ٣ كور: خضراء وصفراء وحمراء. اضغط لمقارنة الحالتين:

أمثلة محلولة

— مثال ١ (مستقلة): ما احتمالية أن تطلع الكورة الأولى خضراء والثانية صفراء؟

— حدثان — كلمة "و" — نضرب:

P = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}

الاحتمالية = 1/9 ≈ 11.1% — تقلّ لأننا نضرب

— مثال ٢ (متنافية): ما احتمالية سحب كورة واحدة تكون خضراء أو صفراء؟

— حدث واحد — كلمة "أو" — نجمع:

P = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

الاحتمالية = 2/3 ≈ 66.7% — تزيد لأننا نجمع

— مثال ٣ (متنافية — حدث مؤكد): كيس فيه ٥ كرات حمراء و٣ كرات زرقاء. ما احتمالية سحب حمراء أو زرقاء؟

— حدث واحد — "أو" — نجمع:

P = \frac{5}{8} + \frac{3}{8} = \frac{8}{8} = 1

— الاحتمال = 1 لأن جميع الكرات إما حمراء أو زرقاء.

P = 1 — حدث مؤكد

جدول المقارنة الشامل

العنصر	مستقلة / غير مستقلة	متنافية / غير متنافية
عدد الأحداث	أكثر من حدث	حدث واحد بنتائج بديلة
الكلمة المفتاحية	"و" (AND)	"أو" (OR)
العملية	ضرب ×	جمع +
تأثير على الاحتمالية	تقل ↓	تزيد ↑
مثال (٣ كور)	1/3 × 1/3 = 1/9	1/3 + 1/3 = 2/3

الخلاصة

— السؤال المفتاح: "هل عندك أكثر من حدث؟" — نعم ← اضرب، لا ← اجمع.

— مستقلة: P(A∩B) = P(A)×P(B) — غير مستقلة: P(A∩B) = P(A)×P(B|A).

— متنافية: P(A∪B) = P(A)+P(B) — غير متنافية: P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B).

— الضرب يُقلّل الناتج — الجمع يُكبّر الناتج — هذا الفرق أساس كل مسائل الاحتمالات.

الحوادث المستقلة والغير مستقلة VS المتنافية والغير متنافية

الشرح