الاحتمال المشروط من زاوية مختلفة
الاحتمال المشروط وتطبيقاته
القانون الأساسي — احتمال B بشرط A
قانون بايز — لعكس اتجاه الاحتمال المشروط
قانون الاحتمال الكلي
رغم دقة الفحص، معظم النتائج الإيجابية كاذبة بسبب ندرة المرض
91% من أصوات الإنذار إنذارات كاذبة بسبب ندرة الحرائق
تحليل إضافي للاحتمال المشروط
في هذا الدرس سنأخذ تحليلًا إضافيًا لقاعدة **الاحتمال المشروط** حتى نفهمها بصورة أعمق ونتعود على استخدامها.
مراجعة القانون
نتذكر أن قانون الاحتمال المشروط هو:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}" data-tex="P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -2.172ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="20.903ex" height="5.475ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1460 9239 2420" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D443" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D443"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(751,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJXG-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1140,0)"><use data-c="1D435" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D435"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1899,0) translate(0 -0.5)"><use data-c="7C" xlink:href="#MJXG-TEX-N-7C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2177,0)"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2927,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJXG-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3593.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(4649.6,0)"><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220,710)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D443" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D443"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(751,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJXG-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1140,0)"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2112.2,0)"><use data-c="2229" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2229"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3001.4,0)"><use data-c="1D435" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D435"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3760.4,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJXG-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(1155.2,-710)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D443" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D443"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(751,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJXG-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1140,0)"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1890,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJXG-TEX-N-29"></use></g></g><rect width="4349.4" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></div>
ونلاحظ أن **احتمال الحدث المعلوم <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="A" data-tex="A" style="display:inline-block;vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 750 716" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D434"></use></g></g></g></svg></span>** يقع في المقام.
ماذا نستنتج من القانون؟
نعرف أن جميع الاحتمالات تقع بين:
0 و1
لذلك كلما **صغر المقام** زادت قيمة الكسر، وكلما **كبر المقام** قلت قيمة الكسر.
وهذا يعني أن الحدث المعلوم إذا كان قليل الاحتمال، فإن الاحتمال المشروط غالبًا يكون أكبر، والعكس صحيح.
مثال
لنرجع إلى المثال السابق.
لدينا وعاء يحتوي على أربع كرات:
- كرتان صغيرتان. - كرتان كبيرتان.
وإحدى الكرتين الكبيرتين لونها أزرق.
الحدثان
الحدث المعلوم <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="A" data-tex="A" style="display:inline-block;vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 750 716" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D434"></use></g></g></g></svg></span>:
أن تكون الكرة **كبيرة**.
الحدث المطلوب <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="B" data-tex="B" style="display:inline-block;vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.717ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 759 683" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D435" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D435"></use></g></g></g></svg></span>:
أن تكون الكرة **زرقاء**.
إذن المطلوب هو:
ما احتمال سحب كرة زرقاء إذا علمنا أن الكرة كبيرة؟
الحالة الأولى
لدينا كرتان كبيرتان من أصل أربع.
إذن:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="P(A)=\frac{2}{4}=\frac12" data-tex="P(A)=\frac{2}{4}=\frac12" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -1.552ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="15.444ex" height="4.588ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1342 6826.1 2028" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D443" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D443"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(751,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJXG-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1140,0)"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1890,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJXG-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2556.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(3612.6,0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,676)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,-686)"><use data-c="34" xlink:href="#MJXG-TEX-N-34"></use></g><rect width="700" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4830.3,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(5886.1,0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,676)"><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,-686)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g><rect width="700" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></div>
فنلاحظ أن احتمال كون الكرة زرقاء أصبح:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="\frac12" data-tex="\frac12" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -1.552ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.127ex" height="4.588ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1342 940 2028" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mfrac"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,676)"><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,-686)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g><rect width="700" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></div>
لأننا حصرنا الاختيار في الكرتين الكبيرتين فقط.
الحالة الثانية
لنفترض أنه لم يعد لدينا إلا **كرة كبيرة واحدة فقط**، وكانت هي الكرة الزرقاء.
عندها:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="P(A)=\frac14" data-tex="P(A)=\frac14" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -1.552ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.3ex" height="4.588ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1342 4552.6 2028" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D443" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D443"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(751,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJXG-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1140,0)"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1890,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJXG-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2556.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(3612.6,0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,676)"><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,-686)"><use data-c="34" xlink:href="#MJXG-TEX-N-34"></use></g><rect width="700" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></div>
كما أن:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="P(A\cap B)=\frac14" data-tex="P(A\cap B)=\frac14" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -1.552ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="14.532ex" height="4.588ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1342 6423 2028" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D443" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D443"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(751,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJXG-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1140,0)"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2112.2,0)"><use data-c="2229" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2229"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3001.4,0)"><use data-c="1D435" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D435"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3760.4,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJXG-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4427.2,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(5483,0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,676)"><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,-686)"><use data-c="34" xlink:href="#MJXG-TEX-N-34"></use></g><rect width="700" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></div>
وبالتالي:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="P(B|A) = \frac{\frac14}{\frac14} = 1" data-tex="P(B|A) = \frac{\frac14}{\frac14} = 1" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -2.647ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="17.459ex" height="6.425ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1669.9 7716.7 2839.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D443" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D443"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(751,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJXG-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1140,0)"><use data-c="1D435" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D435"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1899,0) translate(0 -0.5)"><use data-c="7C" xlink:href="#MJXG-TEX-N-7C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2177,0)"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2927,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJXG-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3593.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(4649.6,0)"><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(220,805)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,394) scale(0.707)"><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,-345) scale(0.707)"><use data-c="34" xlink:href="#MJXG-TEX-N-34"></use></g><rect width="553.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(220,-824.9)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,394) scale(0.707)"><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,-345) scale(0.707)"><use data-c="34" xlink:href="#MJXG-TEX-N-34"></use></g><rect width="553.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g><rect width="993.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6160.9,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(7216.7,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></div>
أي أن معرفة أن الكرة كبيرة تجعلنا متأكدين بنسبة **100%** أنها الكرة الزرقاء.
الحالة الثالثة
لو زاد عدد الكرات الكبيرة إلى ثلاث كرات، فإن احتمال الحدث المعلوم <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="A" data-tex="A" style="display:inline-block;vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 750 716" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D434"></use></g></g></g></svg></span> يصبح أكبر.
أي أن المقام يكبر، وبالتالي تقل قيمة الاحتمال المشروط.
فكلما أصبح الحدث المعلوم أسهل حدوثًا، انخفض تأثيره في تحديد الحدث المطلوب.
الخلاصة
- الاحتمال المشروط يعتمد على الحدث المعلوم. - إذا قل احتمال الحدث المعلوم، صغر المقام، فزاد الاحتمال المشروط. - إذا زاد احتمال الحدث المعلوم، كبر المقام، فانخفض الاحتمال المشروط. - فهم المقام في قانون الاحتمال المشروط يساعد على تفسير النتيجة حتى قبل إجراء الحسابات.
عن هذا الدرس
تحليل إضافي للاحتمال المشروط في هذا الدرس سنأخذ تحليلًا إضافيًا لقاعدة الاحتمال المشروط حتى نفهمها بصورة أعمق ونتعود على استخدامها. مراجعة القانون نتذكر… هذا الدرس ضمن الفصل الثاني لمنهج الثانوية ثاني ثانوي في أكاديمية موسى.