المتتابعات والمتسلسلات الحسابية

الشرح

المتتابعات والمتسلسلات الحسابية

١ الصيغ الأساسية

الحدّ النوني

a_n = a_1 + (n-1)\,d

a₁ = الحد الأول ، d = الفرق المشترك ، n = رقم الحد

مجموع المتسلسلة الحسابية

S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)

الصيغة العامة — بمعرفة a₁ و aₙ و n

S_n = \frac{n}{2}\bigl[2a_1 + (n-1)d\bigr]

الصيغة البديلة — بمعرفة a₁ و d و n

رمز المجموع (سيجما)

\sum_{k=1}^{n} f(k)

k = أول قيمة ، n = آخر قيمة ، f(k) = صيغة حدود المتسلسلة

٢ مثال ١ و ٢ — إيجاد الحدّ النوني وصياغته

أ — المتتابعة: 9، 16، 23، 30، … — أوجد الحدّ الثاني عشر

الفرق المشترك

d = 16 - 9 = 7

التعويض

a_{12} = 9 + (12-1)(7) = 9 + 77

الجواب

a_{12} = 86

ب — المتتابعة: 5، −13، −31، …

أوجد d

d = -13 - 5 = -18

الصيغة

a_n = 5 + (n-1)(-18) = -18n + 23

الجواب

a_n = -18n + 23

ج — المعطى: a₅ = 19، d = 6

أوجد a₁

19 = a_1 + (5-1)(6) \Rightarrow a_1 = -5

الصيغة

a_n = -5 + (n-1)(6) = 6n - 11

٣ مثال ٣ — إيجاد الأوساط الحسابية

أوجد 4 أوساط حسابية بين −8 و 22

عدد الحدود 4 أوساط + الحدين الطرفين = 6 حدود → n = 6

أوجد d

22 = -8 + (6-1)\,d \Rightarrow 5d = 30 \Rightarrow d = 6

المتتابعة الكاملة

-8,\quad -2,\quad 4,\quad 10,\quad 16,\quad 22

الأوساط الأربعة

-2,\quad 4,\quad 10,\quad 16

٤ مثال ٤ و ٥ — إيجاد مجموع متسلسلة حسابية

أ — المتسلسلة: 12 + 19 + 26 + … + 180

أوجد n

180 = 12 + (n-1)(7) \Rightarrow n = 25

المجموع

S_{25} = \dfrac{25}{2}[2(12)+(25-1)(7)] = 12.5 \times 192

الجواب

S_{25} = 2400

ب — المجموع باستعمال رمز سيجما

\sum_{k=4}^{18}(6k-1)

عدد الحدود

n = 18 - 4 + 1 = 15

الحد الأول والأخير

a_1 = 6(4)-1 = 23,\quad a_{15} = 6(18)-1 = 107

المجموع

S_{15} = \dfrac{15}{2}(23+107) = \dfrac{15}{2}(130)

الجواب

S_{15} = 975

٥ أداة تفاعلية — استكشاف المتتابعة الحسابية

غيّر الحد الأول والفرق المشترك وعدد الحدود لترى الحد النوني والمجموع التراكمي.

الحد الأول a₁ 9

الفرق المشترك d 7

عدد الحدود n 12

—

الحد النوني aₙ

—

المجموع Sₙ

—

الصيغة العامة

—

ثاني ثانوي الفصل الثاني

جاري تحميل التعليقات...