المتتابعات بوصفها دوالّ

١ المفاهيم الأساسية والمتتابعة الحسابية

المتتابعة دالة مجالها مجموعة الأعداد الطبيعية أو مجموعة جزئية منها، ومداها مجموعة جزئية من الأعداد الحقيقية.

رمز الحد n

a_n

المجال 1، 2، 3، … n (ترتيب الحد)

المدى a₁، a₂، a₃، … aₙ (حدود المتتابعة)

متتابعة منتهية

3، 6، 9، 12، 15

عدد محدد من الحدود

متتابعة غير منتهية

3، 6، 9، 12، 15، …

تستمر إلى ما لا نهاية

المتتابعة الحسابية

يُحدَّد كل حد بإضافة قيمة ثابتة إلى الحد الذي يسبقه — تسمّى هذه القيمة الفرق المشترك (الأساس).

a_n = a_1 + (n-1)\,d

d = الفرق المشترك ، n = رقم الحد

d = +3

3، 6، 9، 12، 15

d = −4

18، 14، 10، 6، 2، …

الرسم البياني

نقاط على خط مستقيم

٢ مثال ١ — تحديد المتتابعة الحسابية

أ — المتتابعة: 5، −6، −17، −28، …

الفروق

-6-5=-11 \quad -17-(-6)=-11 \quad -28-(-17)=-11

النتيجة الفرق ثابت = −11 ← متتابعة حسابية ✓

ب — المتتابعة: −4، 12، 28، 42، …

الفروق

12-(-4)=16 \quad 28-12=16 \quad 42-28=14

النتيجة الفرق غير ثابت ← ليست متتابعة حسابية ✗

٣ مثال ٢ — إيجاد حدود المتتابعة وتمثيلها بيانيًا

المتتابعة: …، 18، 14، 10 — أوجد الأربعة حدود التالية ومثّل السبعة الأولى بيانيًا

الفرق المشترك

d = 14 - 18 = -4

الحدود التالية

10,\; 6,\; 2,\; -2

المتتابعة الكاملة

18,\;14,\;10,\;6,\;2,\;-2,\;-6

المتتابعة: 18، 14، 10، 6، 2، −2، −6 | d = −4

٤ مثال ٣ — إيجاد حد معين باستعمال صيغة الميل والنقطة

مهرجانات كشفية: الصف الأول 3 أشخاص، يزداد بمقدار 2 في كل صف. أوجد عدد المشاركين في الصف الرابع عشر.

صيغة الميل والنقطة

m = 2,\quad (x_1,\, y_1) = (3,\, 5)

بسّط

y - 5 = 2(x-3) \Rightarrow y = 2x - 1

عوّض x = 14

y = 2(14) - 1 = 27

الجواب

a_{14} = 27

عدد المشاركين في الصف الرابع عشر = 27 مشاركًا

٥ أداة تفاعلية — استكشاف المتتابعة الحسابية

غيّر الحد الأول والفرق المشترك لترى كيف تتغير المتتابعة والرسم البياني.

الحد الأول a₁ 3

الفرق المشترك d 2

—

أول 7 حدود

—

الحد العاشر

—

الصيغة العامة

—

المتتابعات بوصفها دوالّ

الشرح

المتتابعات بوصفها دوالّ