العمليات على الدوال وتركيب الدوال

رياضيات — الدوال

الهدف: إجراء العمليات الأساسية على الدوال (جمع، طرح، ضرب، قسمة) وفهم تركيب الدوال وكيفية تطبيقه.

العمليات الأساسية

جمع — طرح — ضرب — قسمة

تركيب الدوال

f(g(x)) — دالة داخل دالة

شرط العمليات

تقاطع المجالَين

العمليات الأساسية على الدوال

— الشرط الأساسي: يجب أن يتقاطع مجال الدالتين حتى يمكن إجراء العمليات بينهما.

— نستخدم الدالتين الآتيتين في جميع الأمثلة:

f(x) = x^2 \qquad g(x) = \sin x + x

الجمع:

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

= x^2 + \sin x + x

الطرح: علامة السالب تؤثر على كامل g(x).

(f - g)(x) = x^2 - (\sin x + x)

= x^2 - \sin x - x

الضرب: نضرب f(x) في g(x) بالكامل.

(f \cdot g)(x) = x^2 \cdot (\sin x + x)

= x^2 \sin x + x^3

القسمة: يُشترط أن g(x) ≠ 0 لتجنب القسمة على صفر.

\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{x^2}{\sin x + x}

ملاحظة

— مجال دالة القسمة هو تقاطع المجالَين باستثناء القيم التي تجعل المقام = 0.

تركيب الدوال (Function Composition)

— المفهوم: تطبيق دالة على نتيجة دالة أخرى — "دالة داخل دالة".

— نُطلق على الرمز ∘ اسم "تركيب"، فنقرأ f ∘ g كـ "f تركيب g".

(f \circ g)(x) = f(g(x))

— استكشف تدفق التركيب: x يدخل g أولاً ثم تُطبَّق f على الناتج:

x = 2

ملاحظة

— f ∘ g ≠ g ∘ f في معظم الحالات — الترتيب مهم جداً.

مثال ١ — إيجاد f(g(x))

— المعطى:

f(x) = x^2 \qquad g(x) = \sin x + x

— نأخذ f(x) = x² ونضع g(x) كاملةً مكان كل x:

f(g(x)) = \bigl(\sin x + x\bigr)^2

= \sin^2 x + 2x\sin x + x^2

f(g(x)) = sin²x + 2x·sinx + x²

مثال ٢ — إيجاد g(f(x))

— نفس الدالتين السابقتين لكن بترتيب مختلف.

— نأخذ g(x) = sin x + x ونضع f(x) = x² مكان كل x:

g(f(x)) = \sin(x^2) + x^2

ملاحظة

— sin²x + 2x·sinx + x² ≠ sin(x²) + x² — الترتيب غيّر النتيجة كلياً.

g(f(x)) = sin(x²) + x²

مثال ٣ — تركيب متقدم

— المعطى:

g(x) = x - 4 \qquad f(x) = x^2 + 1

— إيجاد f(g(x)): نضع (x − 4) مكان x في f:

f(g(x)) = (x-4)^2 + 1

= x^2 - 8x + 16 + 1

= x^2 - 8x + 17

f(g(x)) = x² − 8x + 17

— إيجاد g(f(x)): نضع (x² + 1) مكان x في g:

g(f(x)) = (x^2 + 1) - 4 = x^2 - 3

g(f(x)) = x² − 3

خطوات تركيب الدوال

— خطوة ١: حدّد الدالة الخارجية والدالة الداخلية.

— في f(g(x)): f هي الخارجية وg هي الداخلية.

— خطوة ٢: اكتب الدالة الخارجية كما هي.

— خطوة ٣: ضع الدالة الداخلية كاملةً مكان كل x في الدالة الخارجية.

— خطوة ٤: بسّط النتيجة — افتح الأقواس واجمع الحدود المتشابهة.

ملاحظة

— الخطأ الأكثر شيوعاً: وضع الدالة الداخلية في جزء من الدالة الخارجية فقط دون الكل.

رسم بياني تفاعلي — قارن f∘g مع g∘f

— استخدم الشريط لتغيير قيمة a في g(x) = ax − 4 وشاهد كيف يؤثر ذلك على التركيب مع f(x) = x² + 1:

a = 1

━━ f(g(x)) - - - g(f(x))

جدول ملخص

العملية	الرمز	شرط خاص
الجمع	(f + g)(x)	تقاطع المجالَين
الطرح	(f − g)(x)	تقاطع المجالَين
الضرب	(f · g)(x)	تقاطع المجالَين
القسمة	(f/g)(x)	g(x) ≠ 0
التركيب	(f ∘ g)(x)	f ∘ g ≠ g ∘ f

الخلاصة

— العمليات الأساسية: تُجرى مباشرةً بشرط تقاطع المجالَين، والقسمة تستثني قيم تُصفِّر المقام.

— تركيب الدوال: f(g(x)) يعني إحلال g(x) كاملةً مكان كل x في f.

— الترتيب حاسم: f ∘ g تختلف عن g ∘ f في الغالب — لا تبديل هنا.

— الخطأ الشائع: وضع الدالة الداخلية في جزء من الخارجية فقط — يجب استبدال كل x.

العمليات على الدوال وتركيب دالتين

الشرح

العمليات على الدوال وتركيب الدوال

العمليات الأساسية على الدوال

تركيب الدوال (Function Composition)

مثال ١ — إيجاد f(g(x))

مثال ٢ — إيجاد g(f(x))

مثال ٣ — تركيب متقدم

خطوات تركيب الدوال

رسم بياني تفاعلي — قارن f∘g مع g∘f

جدول ملخص

الخلاصة