العلاقات والدوال العكسية

الدالة العكسية

تعكس مفعول الأصلية

شرط الوجود

اختبار الخط الأفقي

التماثل البياني

انعكاس حول y = x

١ مراجعة — ما هي الدالة؟

الدالة لكل قيمة x قيمة واحدة فقط من y

الخط الرأسي يحدد: هل هي دالة؟

الخط الأفقي يحدد: هل لها عكسية؟

— الخط الرأسي للدوال — الخط الأفقي للدوال العكسية — فرق جوهري.

٢ مفهوم الدالة العكسية

التعريف تعكس مفعول الدالة الأصلية وتُرجعك إلى نقطة البداية

الرمز f⁻¹(x)

f^{-1}(f(x)) = x

مثال — تربيع

f(x)=x^2 \Rightarrow f^{-1}(x)=\sqrt{x}

مثال — ضرب

f(x)=2x \Rightarrow f^{-1}(x)=\frac{x}{2}

— الـ −1 في f⁻¹ ليست أساً — بل رمز يدل على الدالة العكسية.

٣ مثال ١ — اختبار العكس

الدالة f(x) = 2x

العكسية f⁻¹(x) = x/2

نُدخل 4

f(4) = 2 \times 4 = 8

نُدخل 8 في العكسية

f^{-1}(8) = \frac{8}{2} = 4

رجعنا إلى الرقم الأصلي 4 ✓

٤ العلاقة البيانية — التماثل حول y = x

منحنى f⁻¹ هو انعكاس منحنى f حول الخط y = x — اسحب المنزلق لاستكشاف f(x) = ax:

قيمة a 2

f(x) = ax f⁻¹(x) = x/a y = x

النقطة (a, b) على f تقابلها النقطة (b, a) على f⁻¹

٥ اختبار الخط الأفقي

الشرط الدالة يجب أن تجتاز اختبار الخط الأفقي

المعنى One-to-One — كل x يعطي y مختلفاً

اختر دالة وحرّك الخط الأفقي — الخط الأخضر يجتاز، البرتقالي لا يجتاز:

ارتفاع الخط 1

٦ مثال واقعي — تحويل العملات

الأصلية تحوّل ريالاً إلى دولار

العكسية تحوّل دولاراً إلى ريال

f(x) = \frac{x}{3.75}

f^{-1}(x) = 3.75x

f تجيب كم دولاراً في 100 ريال؟

f⁻¹ تجيب كم ريالاً في دولار واحد؟

f⁻¹(f(100)) = f⁻¹(26.67) = 100 ريال ✓

٧ أمثلة على اختبار الخط الأفقي

y = 5 (ثابتة) رأسي ✓ — أفقي ✗ — لا عكسية

y = 2x (خطية) رأسي ✓ — أفقي ✓ — لها عكسية

y = x² (تربيعية) رأسي ✓ — أفقي ✗ — لا عكسية

y = x³ (تكعيبية) رأسي ✓ — أفقي ✓ — لها عكسية

— يمكن إيجاد عكسية للجزء الموجب فقط من y = x²: نأخذ x ≥ 0.

∑ جدول ملخص

الدالة	اختبار رأسي	اختبار أفقي	عكسية؟
y = 2x	✓	✓	نعم
y = x³	✓	✓	نعم
y = x²	✓	✗	لا
y = \|x\|	✓	✗	لا
y = 5	✓	✗	لا

✓ الخلاصة

— الدالة العكسية: تعكس مفعول الدالة الأصلية — f⁻¹(f(x)) = x.

— شرط الوجود: يجب أن تجتاز الدالة اختبار الخط الأفقي (One-to-One).

— التماثل البياني: منحنى f⁻¹ هو انعكاس منحنى f حول الخط y = x.

— الفرق الجوهري: الخط الرأسي للدوال — الخط الأفقي للدوال العكسية.

العلاقات والدوال العكسية

الشرح

الدوال العكسية