دالة المقلوب والدالة العكسية

الفرق بين دوال المقلوب ودوال المعكوس المثلثية

دوال المقلوب

زاوية ← نسبة عددية

دوال المعكوس

نسبة عددية ← زاوية

سبب الخلط

الرمز −1 يعني شيئين

١ دوال المقلوب — Reciprocal Functions

التعريف مقلوب قيمة الدالة المثلثية الأصلية

المدخل زاوية θ

المخرج نسبة عددية

\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}

\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}

\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}

مدخل: زاوية ← مخرج: نسبة عددية

— السؤال الذي تجيب عنه: "كم مقلوب sin للزاوية θ؟" — النتيجة دائماً رقم.

٢ دوال المعكوس — Inverse Functions

التعريف تعيد الزاوية من نسبة مثلثية معطاة

المدخل نسبة عددية x

المخرج زاوية

\arcsin x = \sin^{-1} x

\arccos x = \cos^{-1} x

\arctan x = \tan^{-1} x

مدخل: نسبة عددية ← مخرج: زاوية

— الـ −1 في sin⁻¹ ليست أساً بل رمز للمعكوس — يُفضَّل رمز arc لتجنب اللبس.

٣ الفرق الجوهري — نفس الرمز معنيان مختلفان

دالة معكوس

\sin^{-1}\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = 30°

مقلوب القيمة

(\sin 30°)^{-1} = 2

sin⁻¹(½) = 30° النتيجة زاوية

(sin 30°)⁻¹ = 2 النتيجة رقم

٤ أمثلة على دوال المقلوب

إذا كان sin 30° = ½ — أوجد csc 30°:

\csc 30° = \frac{1}{\sin 30°} = \frac{1}{0.5} = 2

\csc 30° = 2

إذا كان cos 60° = ½ — أوجد sec 60°:

\sec 60° = \frac{1}{\cos 60°} = \frac{1}{0.5} = 2

\sec 60° = 2

إذا كان tan 45° = 1 — أوجد cot 45°:

\cot 45° = \frac{1}{\tan 45°} = \frac{1}{1} = 1

\cot 45° = 1

٥ أمثلة على دوال المعكوس

ما الزاوية التي ساينها يساوي ½؟

\arcsin\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = 30°

\arcsin\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = 30°

ما الزاوية التي كوساينها يساوي √3/2؟

\arccos\!\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 30°

\arccos\!\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 30°

ما الزاوية التي ظلها يساوي 1؟

\arctan(1) = 45°

\arctan(1) = 45°

٦ استكشاف تفاعلي — الدائرة المثلثية

غيّر الزاوية وشاهد قيم المقلوب والمعكوس في آنٍ واحد:

الزاوية θ 30°

مقارنة sin θ و csc θ على الرسم البياني:

sin θ csc θ

٧ المجالات والمديات

دوال المقلوب:

csc θ sin θ ≠ 0 | مدى: (−∞,−1]∪[1,+∞)

sec θ cos θ ≠ 0 | مدى: (−∞,−1]∪[1,+∞)

cot θ sin θ ≠ 0 | مدى: (−∞,+∞)

دوال المعكوس:

arcsin x مجال [−1,1] | مدى [−90°,90°]

arccos x مجال [−1,1] | مدى [0°,180°]

arctan x مجال (−∞,+∞) | مدى (−90°,90°)

— arcsin(2) غير معرفة لأن 2 خارج المجال [−1, 1].
— csc 0° غير معرفة لأن sin 0° = 0.

٨ الأخطاء الشائعة

خطأ شائع ١ الاعتقاد بأن sin⁻¹ x = 1/sin x

الصواب sin⁻¹ x = arcsin x (معكوس) — 1/sin x = csc x (مقلوب)

خطأ شائع ٢ كتابة arcsin(2) وتوقع نتيجة

الصواب 2 خارج المجال [−1,1] — الدالة غير معرفة

— المقلوب يقلب الكسر — المعكوس يعكس العملية.
— استخدم رمز arc دائماً للمعكوس لتجنب اللبس مع الأس −1.

∑ جدول المقارنة

الخاصية	دوال المقلوب	دوال المعكوس
الرموز	$\csc,\ \sec,\ \cot$	$\arcsin,\ \arccos,\ \arctan$
المدخل	زاوية θ	نسبة عددية x
المخرج	نسبة عددية	زاوية
مثال	$\csc 30° = 2$	$\arcsin\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = 30°$
السؤال	كم مقلوب sin للزاوية؟	ما الزاوية التي sin لها = x؟

✓ الخلاصة

— دوال المقلوب: تحسب مقلوب الدالة المثلثية — المدخل زاوية والمخرج رقم.

— دوال المعكوس: تجد الزاوية من نسبة معطاة — المدخل رقم والمخرج زاوية.

— الرمز −1: في sin⁻¹ x يعني معكوساً، وفي (sin x)⁻¹ يعني مقلوباً — فرق جوهري.

— نصيحة: استخدم رمز arc دائماً للمعكوس لتجنب اللبس.

ثاني ثانوي الفصل الثالث

جاري تحميل التعليقات...

عن هذا الدرس

دالة المقلوب ودالة المعكوس في هذا الدرس سنتعرف على الفرق بين دوال المقلوب ودوال المعكوس للدوال المثلثية، لأن كثيرًا من الطلاب يخلطون بينهما. أولًا: دوال… هذا الدرس ضمن الفصل الثاني لمنهج الثانوية ثاني ثانوي في أكاديمية موسى.

دروس ذات صلة

خطوات إيجاد الدالة العكسية مع أمثلة

الثانوية

العلاقات والدوال العكسية

الثانوية

تمثيل دوالّ المقلوب بيانيًّا

الثانوية

التوزيع الطبيعي مثال علمي

الثانوية

التوزيع الطبيعي في حياتنا اليومية

الثانوية