العمليات على الدوال وتركيب الدوال
| العملية | الرمز | شرط خاص |
|---|---|---|
| الجمع | تقاطع المجالَين | |
| الطرح | تقاطع المجالَين | |
| الضرب | تقاطع المجالَين | |
| القسمة | ||
| التركيب | f ∘ g ≠ g ∘ f |
العمليات على الدوال
في هذا الدرس سنتعرف على العمليات الأساسية على الدوال، ثم ننتقل إلى مفهوم تركيب الدوال.
تشمل العمليات على الدوال: الجمع، والطرح، والضرب، والقسمة، تمامًا كما نجري العمليات على الأعداد، ولكن مع مراعاة مجالات الدوال.
شرط إجراء العمليات على الدوال
قبل إجراء أي عملية بين دالتين، يجب أن يكون هناك تقاطع في مجال الدالتين.
فإذا كان مجال كل دالة مختلفًا تمامًا عن الأخرى، فلا يمكن إجراء العمليات بينهما، لأن كل دالة تكون معرفة على مجموعة مختلفة من القيم.
جمع الدوال
إذا كانت لدينا الدالتان:
- \(f(x)=x^2\) - \(g(x)=\sin(x)+x\)
فإن جمع الدالتين يكون بجمع التعبيرين مباشرة:
\(f(x)+g(x)=x^2+\sin(x)+x\)
طرح الدوال
يتم الطرح بنفس الطريقة، لكن يجب الانتباه إلى أن إشارة السالب تطبق على كامل الدالة الثانية.
فإذا كان:
\(f(x)=x^2\)
و
\(g(x)=\sin(x)+x\)
فإن:
\(f(x)-g(x)=x^2-\sin(x)-x\)
ضرب الدوال
في عملية الضرب نضرب كل حدود الدالة الأولى في حدود الدالة الثانية.
فإذا كان:
\(f(x)=x^2\)
و
\(g(x)=\sin(x)+x\)
فإن:
\(f(x)\times g(x)=x^2(\sin(x)+x)\)
وبعد التوزيع يصبح الناتج:
\(x^2\sin(x)+x^3\)
قسمة الدوال
في القسمة نقسم الدالة الأولى على الثانية مباشرة:
\[ \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{x^2}{\sin(x)+x} \]
ويجب الانتباه إلى شرط مهم، وهو أن:
\(g(x)\neq0\)
حتى لا يصبح المقام صفراً، لأن القسمة على الصفر غير معرفة.
تركيب الدوال
بعد العمليات الأساسية ننتقل إلى مفهوم **تركيب الدوال**.
ويرمز له بالشكل:
\(f\circ g(x)\)
ويُقرأ:
**f تركيب g**
والمقصود به أن نطبق الدالة \(g\) أولاً، ثم نطبق الدالة \(f\) على الناتج.
طريقة تركيب الدوال
إذا كانت:
- \(f(x)=x^2\) - \(g(x)=\sin(x)+x\)
فإن:
\(f\circ g(x)\)
يعني أننا نأخذ معادلة \(f(x)\)، ثم نستبدل كل \(x\) فيها بالدالة \(g(x)\).
فتصبح:
\[ (\sin(x)+x)^2 \]
وبفك التربيع نحصل على:
\[ \sin^2(x)+2x\sin(x)+x^2 \]
عكس ترتيب التركيب
إذا حسبنا:
\(g\circ f(x)\)
فنأخذ الدالة \(g(x)\)، ثم نستبدل المتغير \(x\) بالدالة \(f(x)\).
فتصبح:
\[ \sin(x^2)+x^2 \]
وهذا يوضح أن:
\(f\circ g\)
لا يساوي بالضرورة
\(g\circ f\)
لأن ترتيب التركيب يغيّر الناتج.
مثال آخر على تركيب الدوال
إذا كانت:
- \(g(x)=x-4\) - \(f(x)=x^2+1\)
ونريد إيجاد:
\(f\circ g(x)\)
فنأخذ:
\[ f(x)=x^2+1 \]
ثم نستبدل كل \(x\) بـ:
\[ x-4 \]
فنحصل على:
\[ (x-4)^2+1 \]
وبالتبسيط:
\[ x^2-8x+16+1 \]
فتكون النتيجة:
\[ x^2-8x+17 \]
مثال على عكس الترتيب
إذا أردنا إيجاد:
\(g\circ f(x)\)
فنأخذ:
\[ g(x)=x-4 \]
ثم نستبدل كل \(x\) بالدالة:
\[ x^2+1 \]
فتصبح:
\[ (x^2+1)-4 \]
وبالتبسيط نحصل على:
\[ x^2-3 \]
ملخص الدرس
- يمكن إجراء الجمع والطرح والضرب والقسمة بين الدوال إذا كان هناك تقاطع في مجاليهما. - في القسمة يجب التأكد من أن مقام الدالة لا يساوي صفراً. - تركيب الدوال يعني تعويض متغير إحدى الدالتين بالدالة الأخرى. - عند حساب \(f\circ g\) نستبدل \(x\) في الدالة \(f\) بالدالة \(g\). - ترتيب تركيب الدوال مهم، وغالبًا يكون \(f\circ g\) مختلفًا عن \(g\circ f\).
عن هذا الدرس
شرح درس العمليات على الدوال وتركيب دالتين في ثاني ثانوي، الفصل الثاني، الثانوية — فيديو تعليمي، أمثلة محلولة، اختبار لفهمك من أكاديمية موسى هذا الدرس ضمن الفصل الثاني لمنهج الثانوية ثاني ثانوي في أكاديمية موسى.
