الدوال النسبية — خطوط التقارب الرأسية والأفقية

الهدف: فهم الدوال النسبية وكيف تظهر خطوط التقارب من طبيعة البسط والمقام

الدالة النسبية

بسط ÷ مقام

تقارب رأسي

المقام = صفر

تقارب أفقي

مقارنة الدرجات

١ الشكل العام للدالة النسبية

f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}, \quad Q(x) \neq 0

— البسط

P(x)

: أي كثيرة حدود في الأعلى
— المقام

Q(x)

: أي كثيرة حدود في الأسفل — ويجب أن لا يساوي صفر
— سبب الشرط: لو المقام صار صفر، الدالة تروح إلى ما لا نهاية

حالات خاصة:
— إذا المقام = 1 ← يصير عندنا كثيرة حدود عادية مثل

x^2 + 1

أو

x + x^2

— إذا البسط = ثابت والمقام = 1 ← دالة ثابتة مثل

f(x) = 5

— كلتا الحالتين تعتبران دوالاً نسبية (حالة خاصة منها)

٢ لماذا ندرس الدوال النسبية بشكل خاص؟

— في كثيرات الحدود العادية:

x

يكون دائماً في البسط
— في الدوال النسبية:

x

ممكن يكون في المقام — وهنا تجي الحالات الخاصة
— هذه الحالات تنتج ظاهرتين مهمتين: خطوط التقارب الرأسية وخطوط التقارب الأفقية

خط التقارب الرأسي

عمودي — عند قيم

x

التي تجعل المقام = صفر

خط التقارب الأفقي

أفقي — يعتمد على مقارنة درجتي البسط والمقام

٣ خطوط التقارب الرأسية

x = a \text{ خط تقارب رأسي} \iff Q(a) = 0

مثال ١ — قيمة واحدة:

f(x) = \dfrac{1}{x}

المقام =

x

← يساوي صفر عند

x = 0

← خط تقارب رأسي واحد عند

x = 0

مثال ٢ — قيمتين:

f(x) = \dfrac{1}{(x+2)(x-3)}

المقام = صفر عند

x = -2

أو

x = 3

← خطان تقارب رأسيان

ملاحظة: ممكن يكون عندنا أكثر من خطين رأسيين — بحسب عدد جذور المقام

٤ التصور — منحنيات الدوال النسبية

٥ خطوط التقارب الأفقية — مقارنة الدرجات

قاعدة أساسية: خطوط التقارب الأفقية إما واحدة أو لا يوجد — لا يمكن أن تكون اثنتين

الحالة ١ — درجة المقام أعلى من البسط:

\deg(Q) > \deg(P) \implies y = 0

مثال:

\dfrac{1}{x}

أو

\dfrac{x}{x^2}

← المقام أعلى ← خط تقارب أفقي

y = 0

الحالة ٢ — الدرجتان متساويتان:

\deg(P) = \deg(Q) \implies y = \frac{a_n}{b_n}

نأخذ معامل الحد الأعلى في البسط ÷ معامل الحد الأعلى في المقام
مثال:

\dfrac{2x^2 + 1}{3x^2 + x}

← الدرجتان كلتاهما ٢ ←

y = \dfrac{2}{3}

الحالة ٣ — درجة البسط أعلى من المقام:

\deg(P) > \deg(Q) \implies \text{لا يوجد خط تقارب أفقي}

الدالة تذهب إلى ما لا نهاية — لا تتقارب مع أي خط أفقي

الحالة	الشرط	خط التقارب الأفقي	مثال
١	$\deg(Q) > \deg(P)$	$y = 0$	$\dfrac{1}{x}$
٢	$\deg(P) = \deg(Q)$	$y = \dfrac{a_n}{b_n}$	$\dfrac{2x^2}{3x^2} \Rightarrow y=\tfrac{2}{3}$
٣	$\deg(P) > \deg(Q)$	لا يوجد	$\dfrac{x^2}{x}$

٦ الخلاصة

ما تعلمناه:
— الدالة النسبية = بسط ÷ مقام، وشرطها الأساسي أن المقام لا يساوي صفر
— كثيرات الحدود والثوابت هي حالات خاصة من الدوال النسبية
— التقارب الرأسي: يحدث عند كل قيمة

x

تجعل المقام = صفر — ممكن يتكرر
— التقارب الأفقي: يحدث مرة واحدة فقط أو لا يحدث — يعتمد على مقارنة الدرجات
— إذا درجة المقام أعلى ←

y=0

| إذا متساويتان ←

y = \frac{a_n}{b_n}

| إذا البسط أعلى ← لا يوجد

الدوال النسبية — خطوط التقارب الرأسية والأفقية

اختبر فهمك

الشرح