خطوات إيجاد الدالة العكسية مع أمثلة

إيجاد الدالة العكسية

القاعدة
f(f^{-1}(x)) = x
الخطوات
بدّل x وy ← حلّ لـ y
التماثل
مجال f = مدى
f^{-1}
١ خطوات إيجاد الدالة العكسية
خطوة ١ تأكد أن الدالة تجتاز اختبار الخط الأفقي (One-to-One)
خطوة ٢ استبدل f(x) بـ y ثم بدّل x وy مع بعض
خطوة ٣ حلّ المعادلة بالنسبة لـ y — هذا هو f⁻¹(x)
خطوة ٤ حدّد مجال ومدى الدالة العكسية
— مجال f⁻¹ = مدى f  —  مدى f⁻¹ = مجال f.
— إذا كانت النقطة (a, b) على f فإن (b, a) على f⁻¹.
٢ مثال ١ — دالة خطية بسيطة
f(x) = x + 5
الاختبار دالة خطية — تجتاز اختبار الخط الأفقي ✓
نكتب
y = x + 5
نبدّل
x = y + 5
نحلّ
y = x - 5
f^{-1}(x) = x - 5

المجال والمدى: ℝ

٣ مثال ٢ — دالة خطية بمعامل
f(x) = 2x
نكتب
y = 2x
نبدّل
x = 2y
نحلّ
y = \dfrac{x}{2}
f^{-1}(x) = \dfrac{x}{2}

المجال والمدى: ℝ

— f⁻¹ تعني الدالة العكسية وليست 1/f(x) — فرق جوهري.
٤ مثال ٣ — دالة كسرية
f(x) = \frac{x+7}{x}
نبدّل
x = \frac{y+7}{y} = 1 + \frac{7}{y}
نطرح ١
x - 1 = \frac{7}{y}
نحلّ
y = \frac{7}{x-1}
f^{-1}(x) = \dfrac{7}{x-1}
مجال f
\mathbb{R} \setminus \{0\}
مدى f
\mathbb{R} \setminus \{1\}
مجال f⁻¹
\mathbb{R} \setminus \{1\}
مدى f⁻¹
\mathbb{R} \setminus \{0\}
٥ رسم بياني تفاعلي — f وf⁻¹
اختر دالة لترى منحناها وعكسيتها وخط التماثل:
f(x) f⁻¹(x) y = x
٦ تمارين محلولة
تمرين ١:
f(x) = 3x - 2
نبدّل
x = 3y - 2
نحلّ
f^{-1}(x) = \frac{x+2}{3}
f^{-1}(x) = \frac{x+2}{3}

المجال والمدى: ℝ

تمرين ٢:
f(x) = x^3
نبدّل
x = y^3
نحلّ
f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x}
f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x}

المجال والمدى: ℝ

تمرين ٣ — كسرية:
f(x) = \frac{2x+1}{x-3}
ضرب تقاطعي
x(y-3) = 2y+1
نجمع y
y(x-2) = 3x+1
نحلّ
f^{-1}(x) = \frac{3x+1}{x-2}
f^{-1}(x) = \frac{3x+1}{x-2}

المجال: ℝ − {2}

تمرين ٤ — جذرية:
f(x) = \sqrt{x-4}
نبدّل
x = \sqrt{y-4}
نربّع
x^2 = y - 4
نحلّ
f^{-1}(x) = x^2 + 4 \quad (x \geq 0)
f^{-1}(x) = x^2 + 4 \quad (x \geq 0)

المجال: [0, ∞)

٧ رسم التمارين — اختر وتحقق
اختر تمريناً لترى رسمه:
f(x) f⁻¹(x) y = x
∑ جدول ملخص
الدالة
f(x)
العكسية
f^{-1}(x)
 قيد
x + 5
x - 5
 —
3x - 2
\dfrac{x+2}{3}
 —
x^3
\sqrt[3]{x}
 —
\dfrac{2x+1}{x-3}
\dfrac{3x+1}{x-2}
x \neq 2
\sqrt{x-4}
x^2 + 4
x \geq 0
✓ الخلاصة
— الخطوة الأساسية: بدّل x وy ثم حلّ المعادلة بالنسبة لـ y.
— المجال والمدى: يتبادلان بين f وf⁻¹ دائماً.
— الدوال الكسرية: الضرب التقاطعي يُبسّط الحلّ.
— الدوال الجذرية: التربيع ضروري مع الانتباه لقيد المجال.
الدرس السابق
3
الدرس التالي
ثالث ثانويالفصل الأول
جاري تحميل التعليقات...

عن هذا الدرس

شرح درس خطوات إيجاد الدالة العكسية مع أمثلة في ثاني ثانوي، الفصل الثاني، الثانوية — فيديو تعليمي، أمثلة محلولة، اختبار لفهمك من أكاديمية موسى هذا الدرس ضمن الفصل الثاني لمنهج الثانوية ثاني ثانوي في أكاديمية موسى.

دروس ذات صلة

دالة المقلوب والدالة العكسية

الثانوية

العلاقات والدوال العكسية

الثانوية

التوزيع الطبيعي مثال علمي

الثانوية

التوزيع الطبيعي في حياتنا اليومية

الثانوية

مفهوم الانحراف المعياري

الثانوية

شرح خطوات إيجاد الدالة العكسية مع أمثلة | أكاديمية موسى