المتسلسلات الهندسية اللانهائية

١ المفاهيم الأساسية

متقاربة

|r| < 1

للمجموع قيمة محددة

متباعدة

|r| \geq 1

لا يوجد مجموع محدد

مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية المتقاربة

S = \frac{a_1}{1-r}, \quad |r| < 1

a₁ = الحد الأول ، r = الأساس

عندما تكون المتسلسلة متباعدة (|r| ≥ 1) فإن Sₙ تتزايد بلا حدود ولا يوجد مجموع.

٢ مثال ١ — متقاربة أم متباعدة؟

أ — المتسلسلة: … + 54 + 36 + 24

أوجد r

r = \dfrac{36}{54} = \dfrac{2}{3}

النتيجة |r| = 2/3 < 1 ← متقاربة ✓

ب — المتسلسلة: 8 + 12 + 18 + …

أوجد r

r = \dfrac{12}{8} = 1.5

النتيجة |r| = 1.5 > 1 ← متباعدة، لا يوجد مجموع ✗

٣ مثال ٢ — إيجاد مجموع متسلسلة هندسية لانهائية

أ — المتسلسلة:

\dfrac{2}{3} + \dfrac{6}{15} + \dfrac{18}{75} + \cdots

أوجد r

r = \dfrac{6}{15} \div \dfrac{2}{3} = \dfrac{3}{5} \quad \Rightarrow \quad |r| < 1

المجموع

S = \dfrac{\tfrac{2}{3}}{1-\tfrac{3}{5}} = \dfrac{\tfrac{2}{3}}{\tfrac{2}{5}} = \dfrac{5}{3}

الجواب

S = \dfrac{5}{3}

ب — المتسلسلة: 6 + 9 + 13.5 + 20.25 + …

أوجد r

r = \dfrac{9}{6} = 1.5

النتيجة |r| = 1.5 > 1 ← متباعدة، لا يوجد مجموع ✗

ج — رمز المجموع:

\sum_{k=1}^{\infty} 18\!\left(\tfrac{4}{5}\right)^{k-1}

المعطيات

a_1 = 18,\quad r = \dfrac{4}{5},\quad |r| < 1

المجموع

S = \dfrac{18}{1-\tfrac{4}{5}} = \dfrac{18}{\tfrac{1}{5}} = 90

الجواب

S = 90

٤ أداة تفاعلية — استكشاف التقارب والتباعد

غيّر الأساس r وشاهد كيف تتصرف المجاميع الجزئية — هل تتقارب نحو قيمة ثابتة أم تتباعد؟

الحد الأول a₁ 18

الأساس r 0.80

—

النوع

—

المجموع S

—

S₁₅

—

٥ ملخص المقارنة

الشرح