البرهان باستعمال مبدأ الاستقراء الرياضيّ

١ مبدأ الاستقراء الرياضيّ — الخطوات الثلاث

لبرهان أن جملة ما صحيحة للأعداد الطبيعية جميعها n، اتبع الخطوات الآتية:

الخطوة ١ — الأساس برهن أن الجملة صحيحة عندما n = 1

الخطوة ٢ — فرضية الاستقراء افترض أن الجملة صحيحة عند العدد الطبيعي k

الخطوة ٣ — خطوة الاستقراء برهن أن الجملة صحيحة عند k + 1

٢ مثال ١ — برهان المجموع

برهن أن:

1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3 = \dfrac{n^2(n+1)^2}{4}

الخطوة ١ — الأساس (n = 1)

1^3 = 1 \qquad \frac{1^2(1+1)^2}{4} = \frac{4}{4} = 1 \checkmark

الخطوة ٢ — فرضية الاستقراء (افترض عند k)

1^3+2^3+\cdots+k^3 = \frac{k^2(k+1)^2}{4}

الخطوة ٣ — أثبت عند k+1

نريد إثبات

1^3+\cdots+(k+1)^3 = \frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}

أضف (k+1)³

\frac{k^2(k+1)^2}{4} + (k+1)^3 = \frac{k^2(k+1)^2+4(k+1)^3}{4}

عامل مشترك

= \frac{(k+1)^2\bigl[k^2+4(k+1)\bigr]}{4}

النتيجة

= \frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4} \checkmark

الجملة صحيحة لجميع الأعداد الطبيعية n بمبدأ الاستقراء الرياضيّ

تم البرهان بإثبات الأساس وخطوة الاستقراء ✓

٣ مثال ٢ — برهان قابلية القسمة

برهن أن: 8ⁿ − 1 يقبل القسمة على 7 لكل عدد طبيعي n

الخطوة ١ — الأساس (n = 1)

8^1 - 1 = 7 \checkmark

7 يقبل القسمة على 7 ✓

الخطوة ٢ — فرضية الاستقراء (افترض عند k)

8^k - 1 = 7r

(r عدد طبيعي)

الخطوة ٣ — أثبت عند k+1

من فرضية الاستقراء

8^k = 7r + 1

اضرب في 8

8^{k+1} = 8(7r+1) = 56r+8

اطرح 1

8^{k+1}-1 = 56r+7 = 7(8r+1) \checkmark

8ⁿ − 1 يقبل القسمة على 7 لكل عدد طبيعي n

بما أن (8r+1) عدد طبيعي فإن الناتج يقبل القسمة على 7 ✓

٤ مثال ٣ — إثبات خطأ جملة بالمثال المضاد

هل الجملة: 2ⁿ + 2n² تقبل القسمة على 4 لأي عدد طبيعي n ؟

n = 3 هو مثال مضاد — الجملة خاطئة ✗

مثال مضاد واحد يكفي لإثبات أن الجملة ليست صحيحة لجميع الأعداد الطبيعية

٥ أداة تفاعلية — التحقق الرقمي من الجمل

اختر جملة وحرّك المنزلق لمقارنة الطرفين عند كل قيمة n

قيمة n 4

الطرف الأيسر

—

الطرف الأيمن

—

متساويان؟

—

الشرح