البرهان باستعمال مبدأ الاستقراء الرياضيّ
ما هو البرهان الجبري؟
البرهان الجبري هو استخدام قوانين وخصائص الجبر لإثبات صحة نتيجة أو قاعدة رياضية.
وقبل دراسة البرهان الجبري، من المهم أن نعرف أن الرياضيات تنقسم إلى عدة فروع، منها:
- الحساب، ويهتم بعمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة. - الجبر، ويهتم بالمتغيرات والمعادلات وإيجاد قيمها. - الهندسة، وتهتم بالأشكال الهندسية. - حساب المثلثات. - الإحصاء. - التفاضل والتكامل.
وفي البرهان الجبري نستخدم خصائص الجبر للوصول إلى النتيجة المطلوبة بطريقة منطقية ومنظمة.
خصائص المساواة
يعتمد البرهان الجبري على مجموعة من خصائص الأعداد الحقيقية، ومن أهمها:
- **خاصية الجمع للمساواة:** إذا كان \(A=B\)، فإن:
\[ A+C=B+C \]
- **خاصية الطرح للمساواة:** إذا كان \(A=B\)، فإن:
\[ A-C=B-C \]
- **خاصية الضرب للمساواة:** إذا كان \(A=B\)، فإن:
\[ A\times C=B\times C \]
- **خاصية القسمة للمساواة:** إذا كان \(A=B\)، وكان \(C\neq0\)، فإن:
\[ \frac{A}{C}=\frac{B}{C} \]
خصائص أخرى مهمة
من الخصائص المستخدمة كثيراً في البرهان:
- **خاصية الانعكاس:** كل كمية تساوي نفسها.
\[ A=A \]
- **خاصية التماثل:** إذا كان:
\[ A=B \]
فإن:
\[ B=A \]
- **خاصية التعدي:** إذا كان:
\[ A=B \]
و
\[ B=C \]
فإن:
\[ A=C \]
- **خاصية التعويض:** إذا كان:
\[ A=B \]
فيمكن استبدال \(A\) بـ \(B\) أو العكس في أي معادلة.
خاصية التوزيع
تستخدم خاصية التوزيع عند ضرب عدد في ما داخل الأقواس، مثل:
\[ A(B+C)=AB+AC \]
وهي من أكثر الخصائص استخداماً عند تبسيط المعادلات.
مثال على البرهان الجبري
إذا كانت لدينا المعادلة:
\[ -5(x+4)=70 \]
وطُلب إثبات أن:
\[ x=-18 \]
فنبدأ باستخدام خاصية التوزيع، ثم نبسط المعادلة، وبعد ذلك نستخدم خصائص الجمع والطرح والقسمة للمساواة حتى نعزل المتغير \(x\)، فنصل إلى:
\[ x=-18 \]
البرهان بجدول العبارات والمبررات
يمكن أيضاً كتابة البرهان الجبري في جدول مكوّن من عمودين:
- **العبارات:** نكتب فيها خطوات الحل. - **المبررات:** نكتب فيها الخاصية أو القانون المستخدم في كل خطوة، مثل: - خاصية التوزيع. - التبسيط. - خاصية الجمع للمساواة. - خاصية القسمة للمساواة.
وهذه الطريقة تساعد على تنظيم البرهان وإظهار سبب كل خطوة.
البرهان الهندسي
البرهان الهندسي يعتمد على الفكرة نفسها، لكنه يستخدم بالإضافة إلى خصائص الجبر المسلمات والنظريات الهندسية.
فقد نستخدم خصائص المساواة مع نظريات الزوايا أو المثلثات لإثبات نتيجة هندسية.
مثال على البرهان الهندسي
إذا كان لدينا زاويتان معبر عنهما بدلالة \(x\)، وعُلم أن كل واحدة منهما تطابق زاوية ثالثة، فإننا نستنتج أولاً باستخدام **خاصية التعدي** أن الزاويتين متساويتان.
بعد ذلك نستخدم **خاصية التعويض** لاستبدال قياس كل زاوية بتعبيرها الجبري، فنحصل على معادلة في \(x\).
ثم نحل المعادلة باستخدام خصائص الجمع والطرح والقسمة للمساواة حتى نجد قيمة \(x\).
وفي النهاية يمكن كتابة النتيجة على الصورة:
\[ x=6 \]
وإذا كانت المعادلة أعطت:
\[ 6=x \]
فنستخدم **خاصية التماثل للمساواة** لكتابتها بالشكل المعتاد:
\[ x=6 \]
الخلاصة
البرهان الجبري يعتمد على استخدام خصائص الجبر لإثبات النتائج بطريقة منطقية ومنظمة.
ومن أهم الخصائص المستخدمة:
- خاصية الجمع للمساواة. - خاصية الطرح للمساواة. - خاصية الضرب للمساواة. - خاصية القسمة للمساواة. - خاصية الانعكاس. - خاصية التماثل. - خاصية التعدي. - خاصية التعويض. - خاصية التوزيع.
أما البرهان الهندسي فيجمع بين خصائص الجبر والنظريات الهندسية للوصول إلى الإثبات المطلوب.
عن هذا الدرس
شرح درس البرهان باستعمال مبدأ الاستقراء الرياضيّ في ثاني ثانوي، الفصل الثاني، الثانوية — فيديو تعليمي، أمثلة محلولة، اختبار لفهمك من أكاديمية موسى هذا الدرس ضمن الفصل الثاني لمنهج الثانوية ثاني ثانوي في أكاديمية موسى.
