الانحراف المعياري — درس شامل
σ = الانحراف المعياري — x̄ = المتوسط — n = عدد القيم
نفس المتوسط (1) — لكن σ مختلف تمامًا: 0.58 مقابل 19.1
| الدرجة | الفرق | المربع |
|---|---|---|
| 85 | −1.25 | 1.56 |
| 90 | 3.75 | 14.06 |
| 78 | −8.25 | 68.06 |
| 92 | 5.75 | 33.06 |
| 88 | 1.75 | 3.06 |
| 76 | −10.25 | 105.06 |
| 94 | 7.75 | 60.06 |
| 87 | 0.75 | 0.56 |
| المجموع | — | 285.5 |
المتوسط = 86.25 — معظم الدرجات ضمن 6 نقاط من المتوسط
σ₁ ≈ 1.29 طلاب متجانسون | σ₂ ≈ 12.91 طلاب متفاوتون
| الوقت | الفرق | المربع |
|---|---|---|
| 25 | −5 | 25 |
| 30 | 0 | 0 |
| 28 | −2 | 4 |
| 35 | 5 | 25 |
| 32 | 2 | 4 |
| المجموع | — | 58 |
المتوسط = 30 دقيقة — σ ≈ 3.41 — الموظف منتظم نسبيًا
| σ | التفسير | مثال |
|---|---|---|
| = 0 | لا يوجد تباعد | {10، 10، 10} |
| صغير | قيم متقاربة — بيانات متجانسة | فصل دراسي منتظم |
| كبير | قيم متباعدة — بيانات متشتتة | دخول متفاوتة جدًا |
مفهوم الانحراف المعياري
في هذا الدرس سنتعرف على **الانحراف المعياري (Standard Deviation)**، ولماذا نحتاج إليه في الإحصاء.
لماذا نستخدم الانحراف المعياري؟
يستخدم الانحراف المعياري لقياس **مدى تشتت البيانات** حول المتوسط الحسابي.
فهو يبين لنا هل القيم:
- متقاربة من بعضها. - أم متباعدة بشكل كبير.
لماذا لا يكفي المتوسط الحسابي؟
قد تمتلك مجموعتان **المتوسط الحسابي نفسه**، لكن تختلفان كثيرًا في توزيع البيانات.
فعلى سبيل المثال، قد يكون متوسط درجات فصلين:
**70**
في كلا الفصلين.
لكن قد تكون درجات الفصل الأول متقاربة حول 70، بينما درجات الفصل الثاني متفاوتة بشكل كبير.
ولهذا فإن المتوسط الحسابي وحده لا يصف البيانات بشكل كامل، بل نحتاج أيضًا إلى معرفة مقدار تشتتها باستخدام الانحراف المعياري.
مثال
لدينا المجموعتان الآتيتان:
**المجموعة الأولى:**
0 ، 1 ، 1 ، 1 ، 1 ، 2
**المجموعة الثانية:**
-20 ، -20 ، -14 ، 20 ، 20 ، 20
على الرغم من أن المتوسط الحسابي للمجموعتين متساوٍ، إلا أن توزيع القيم مختلف.
- في المجموعة الأولى، القيم متقاربة جدًا من المتوسط. - في المجموعة الثانية، القيم متباعدة بشكل كبير.
لذلك:
- يكون الانحراف المعياري للمجموعة الأولى صغيرًا. - ويكون الانحراف المعياري للمجموعة الثانية كبيرًا.
فكرة القانون
قد يبدو قانون الانحراف المعياري معقدًا، لكن فكرته بسيطة.
نقوم بالخطوات الآتية:
1. نحسب الفرق بين كل قيمة والمتوسط الحسابي. 2. نربع كل فرق للتخلص من الإشارات السالبة. 3. نجمع جميع القيم الناتجة. 4. نقسم على عدد القيم (أو عدد القيم ناقص واحد حسب نوع البيانات). 5. نأخذ الجذر التربيعي للناتج.
وبذلك نحصل على الانحراف المعياري.
ماذا يقيس الانحراف المعياري؟
يمكن النظر إلى الانحراف المعياري على أنه:
**متوسط بُعد القيم عن المتوسط الحسابي.**
فكلما كانت القيم أقرب إلى المتوسط، كان الانحراف المعياري أصغر.
وكلما ابتعدت القيم عن المتوسط، كان الانحراف المعياري أكبر.
تفسير النتائج
- **انحراف معياري صغير:** يدل على أن البيانات متقاربة ومتجانسة. - **انحراف معياري كبير:** يدل على أن البيانات متباعدة ويوجد تفاوت كبير بينها.
خلاصة
- الانحراف المعياري يقيس **تشتت البيانات** حول المتوسط الحسابي. - قد تمتلك مجموعتان المتوسط نفسه، لكن يختلف الانحراف المعياري بينهما. - يعتمد حسابه على فروق القيم عن المتوسط الحسابي. - كلما صغر الانحراف المعياري كانت البيانات أكثر تقاربًا. - وكلما كبر، دل ذلك على زيادة التشتت والتفاوت بين القيم.
عن هذا الدرس
مفهوم الانحراف المعياري في هذا الدرس سنتعرف على **الانحراف المعياري (Standard Deviation)**، ولماذا نحتاج إليه في الإحصاء. لماذا نستخدم الانحراف المعياري؟… هذا الدرس ضمن الفصل الثاني لمنهج الثانوية ثاني ثانوي في أكاديمية موسى.
