درس 12
أسئلة و تمارين عامة على قواعد التكامل
مجموعة أمثلة محلولة تغطي جميع موضوعات التكامل — من القواعد الأساسية حتى التطبيقات الهندسية.
قاعدة القوة
\(\displaystyle\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\)
مثال 1
\(\displaystyle\int_0^1 x^4\,dx\)
1
الدالة الأصلية: \(F(x)=\dfrac{x^5}{5}\)
\[\left[\frac{x^5}{5}\right]_0^1 = \frac{1}{5}\]
مثال 2
\(\displaystyle\int_0^4 \sqrt{x}\,dx\)
1
نكتب \(\sqrt{x}=x^{1/2}\)، الأصلية \(\dfrac{2}{3}x^{3/2}\)
\[\left[\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_0^4 = \frac{2}{3}\cdot 8 = \frac{16}{3}\]
مثال 3
\(\displaystyle\int_0^2 (3x^2 - 5x + 2)\,dx\)
1
نكامل كل حد بشكل مستقل
\[\left[x^3 - \frac{5x^2}{2} + 2x\right]_0^2 = 8-10+4 = 2\]
النظرية الأساسية
\(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)\)
مثال 4
\(\displaystyle\int_1^3 (2x+1)\,dx\)
1
الدالة الأصلية: \(F(x)=x^2+x\)
\[F(3)-F(1) = 12-2 = 10\]
مثال 5
\(\displaystyle\int_0^2 x^3\,dx\)
1
\(F(x)=\dfrac{x^4}{4}\)
\[\left[\frac{x^4}{4}\right]_0^2 = 4\]
المساحة الموجّهة
المساحة فوق المحور موجبة، تحته سالبة
مثال 6
\(\displaystyle\int_{-1}^{1} x\,dx\)
1
\(F(1)-F(-1)=\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}=0\)
\[\int_{-1}^{1}x\,dx = 0\]
المساحتان الموجبة والسالبة تتلغيان. المساحة الهندسية = 1.
مثال 7
\(\displaystyle\int_0^{2\pi}\sin x\,dx\)
1
التكامل الموجّه = 0
2
المساحة الهندسية: \(2+2=4\)
\[\int_0^\pi\sin x\,dx + \left|\int_\pi^{2\pi}\sin x\right| = 4\]
قاعدة ln
\(\displaystyle\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+C\)
مثال 8
\(\displaystyle\int_4^6\frac{1}{x-3}\,dx\)
1
\(f(x)=x-3\)، \(f'(x)=1\)
\[\bigl[\ln|x-3|\bigr]_4^6 = \ln 3 - \ln 1 = \ln 3\]
مثال 9
\(\displaystyle\int_0^1\frac{4x}{x^2+1}\,dx\)
1
\(f(x)=x^2+1\)، \(f'(x)=2x\)
\[2\bigl[\ln(x^2+1)\bigr]_0^1 = 2\ln 2\]
التعويض
\(u=g(x)\) ← \(du=g'(x)\,dx\)
مثال 10
\(\displaystyle\int_0^1(x^2+5)^4\cdot 2x\,dx\)
1
\(u=x^2+5\)، الحدود: \(u\in[5,6]\)
\[\int_5^6 u^4\,du = \left[\frac{u^5}{5}\right]_5^6 = \frac{6^5-5^5}{5} = \frac{4651}{5}\]
مثال 11
\(\displaystyle\int_0^1 x\,e^{x^2}\,dx\)
1
\(u=x^2\)، \(x\,dx=\tfrac{du}{2}\)، الحدود \([0,1]\)
\[\frac{1}{2}\bigl[e^u\bigr]_0^1 = \frac{e-1}{2}\]
مثال 12
\(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^3 x\,\cos x\,dx\)
1
\(u=\sin x\)، الحدود \([0,1]\)
\[\int_0^1 u^3\,du = \frac{1}{4}\]
الأجزاء
\(\displaystyle\int u\,dv = uv-\int v\,du\)
مثال 13
\(\displaystyle\int_0^\pi x\sin x\,dx\)
\(u=x,\;du=dx\)
\(dv=\sin x\,dx,\;v=-\cos x\)
\[\bigl[-x\cos x+\sin x\bigr]_0^\pi = \pi\]
مثال 14
\(\displaystyle\int_1^e\ln x\,dx\)
\(u=\ln x,\;du=\tfrac{dx}{x}\)
\(dv=dx,\;v=x\)
\[\bigl[x\ln x-x\bigr]_1^e = 1\]
مثال 15
\(\displaystyle\int_1^e x\ln x\,dx\)
\(u=\ln x,\;dv=x\,dx\)
\(v=\tfrac{x^2}{2}\)
\[\frac{e^2+1}{4}\]
مثلثية
تكاملات sin وcos وtan
مثال 16
\(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos(5x)\,dx\)
1
\(u=5x\)، معامل \(\tfrac{1}{5}\)
\[\left[\frac{\sin(5x)}{5}\right]_0^{\pi/2} = \frac{\sin(5\pi/2)}{5} = \frac{1}{5}\]
مثال 17
\(\displaystyle\int_0^{\pi/4}\tan x\,dx\)
1
\(\int\tan x\,dx=-\ln|\cos x|+C\)
\[\bigl[-\ln|\cos x|\bigr]_0^{\pi/4} = \frac{1}{2}\ln 2\]
مثال 18
\(\displaystyle\int_0^\pi\sin^2 x\,dx\)
1
نخفّض: \(\sin^2 x=\dfrac{1-\cos 2x}{2}\)
\[\left[\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}\right]_0^\pi = \frac{\pi}{2}\]
تطبيقات
مساحة، حجم، طول قوس
مثال 19 — مساحة بين منحنيين
المساحة بين \(f(x)=4-x^2\) و \(g(x)=x+2\)
1
تقاطع: \(x=-2,\;x=1\)
\[\int_{-2}^1(2-x-x^2)\,dx = \frac{9}{2}\]
مثال 20 — حجم الأقراص
تدوير \(f(x)=x^2\) من 0 إلى 2 حول محور \(x\)
\[V=\pi\int_0^2 x^4\,dx = \frac{32\pi}{5}\]
مثال 21 — طول القوس
طول \(f(x)=\dfrac{x^2}{2}\) من 0 إلى 2
1
\(f'(x)=x\)
\[L=\int_0^2\sqrt{1+x^2}\,dx \approx 2.958\]
ملخص القواعد
\(\displaystyle\int x^n\,dx = \tfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\) ، \(\displaystyle\int\tfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\)
\(\displaystyle\int e^x\,dx=e^x+C\) ، \(\displaystyle\int\sin x\,dx=-\cos x+C\) ، \(\displaystyle\int\cos x\,dx=\sin x+C\)
\(\displaystyle\int u\,dv=uv-\int v\,du\) ، \(\displaystyle\int f(g(x))g'(x)\,dx=\int f(u)\,du\)
\(A=\displaystyle\int_a^b[f-g]\,dx\) ، \(V=\pi\displaystyle\int_a^b f^2\,dx\) ، \(L=\displaystyle\int_a^b\sqrt{1+f'^2}\,dx\)