درس 11

تطبيقات مختلفة للتكامل

التكامل لا يقتصر على إيجاد المساحة تحت منحنى واحد — يمتد لحساب المساحة بين منحنيين، وحجم الأجسام الدورانية، وغيرها من التطبيقات الهندسية.

تطبيق 1
المساحة بين منحنيين
إذا كانت f(x) \geq g(x) على [a,b]، فالمساحة بينهما:
\[A = \int_a^b \bigl[f(x) - g(x)\bigr]\,dx\]
نطرح المنحنى الأسفل من الأعلى في كل نقطة، ثم نكامل.
مثال: المساحة بين f(x)=x+2 و g(x)=x^2
\text{تقاطع: } x^2 = x+2 \implies x=-1,\; x=2
\[A = \int_{-1}^{2}(x+2-x^2)\,dx = \left[\frac{x^2}{2}+2x-\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2} = \frac{9}{2}\]
تطبيق 2
حجم جسم الدوران — طريقة الأقراص
عند تدوير المنطقة تحت f(x) حول محور x، يتكوّن جسم دوران. كل شريحة رفيعة تُشكّل قرصاً نصف قطره f(x):
\[V = \pi\int_a^b \bigl[f(x)\bigr]^2\,dx\]
مثال: حجم الجسم الناتج عن تدوير f(x)=\sqrt{x} من 0 إلى 4 حول محور x:
\[V = \pi\int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx = \pi\int_0^4 x\,dx = \pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4 = 8\pi\]
تطبيق 3
حجم جسم الدوران — طريقة الحلقات
إذا دارت المنطقة بين منحنيين f(x) \geq g(x) حول محور x، تتكوّن حلقات (washer):
\[V = \pi\int_a^b \Bigl(\bigl[f(x)\bigr]^2 - \bigl[g(x)\bigr]^2\Bigr)\,dx\]
مثال: المنطقة بين f(x)=\sqrt{x} و g(x)=x^2 من 0 إلى 1 تدور حول محور x:
\[V = \pi\int_0^1(x - x^4)\,dx = \pi\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^5}{5}\right]_0^1 = \pi\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{5}\right) = \frac{3\pi}{10}\]
خطوات
كيف تحل مسائل المساحة والحجم
1
ارسم المنحنيين وحدّد أيهما أعلى على الفترة
2
أوجد نقاط التقاطع بحل f(x) = g(x) — هذه هي الحدود a و b
3
للمساحة: كامل [f(x)-g(x)]  |  للحجم: كامل \pi[f^2-g^2]
4
إذا تبادل المنحنيان الموضع على فترات مختلفة — قسّم التكامل عند نقطة التبادل
تطبيق 4
طول القوس
طول المنحنى y=f(x) من a إلى b يُحسب بتجميع أطوال عناصر صغيرة ds:
\[L = \int_a^b \sqrt{1 + \bigl[f'(x)\bigr]^2}\,dx\]
الفكرة: كل عنصر صغير ds = \sqrt{dx^2+dy^2} = \sqrt{1+(dy/dx)^2}\,dx
مثال: طول المنحنى f(x) = \dfrac{x^{3/2}}{3} · \dfrac{2}{1} ← نستخدم f(x)=\dfrac{2}{3}x^{3/2} من 0 إلى 3:
\[f'(x)=\sqrt{x} \implies L = \int_0^3\sqrt{1+x}\,dx = \left[\tfrac{2}{3}(1+x)^{3/2}\right]_0^3 = \tfrac{2}{3}(8-1)=\tfrac{14}{3}\]
1️⃣ المساحة بين منحنيين: \displaystyle A=\int_a^b[f(x)-g(x)]\,dx حيث f \geq g
2️⃣ حجم الأقراص: \displaystyle V=\pi\int_a^b[f(x)]^2\,dx
3️⃣ حجم الحلقات: \displaystyle V=\pi\int_a^b\bigl([f(x)]^2-[g(x)]^2\bigr)\,dx
4️⃣ طول القوس: \displaystyle L=\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx
5️⃣ أوجد حدود التكامل من نقاط التقاطع f(x)=g(x)
6️⃣ تأكد دائماً أيهما أعلى قبل الطرح — وإلا ستحصل على مساحة سالبة

📝اختبار الدرس

تطبيقات التكامل

1 / 3
ما مساحة المنطقة بين f(x)=x+2 و g(x)=x² من −1 إلى 2؟

الدرس التالي

أسئلة و تمارين عامة على قواعد التكامل

ودّك تثبّت فهمك؟ جرّب اختبار الدرس قبل المتابعة 👆

التالي
تكامل الدوال المثلثية الأساسيةأسئلة و تمارين عامة على قواعد التكامل