درس 10

تكامل الدوال المثلثية الأساسية

الدوال المثلثية لها تكاملات مباشرة مبنية على علاقة الاشتقاق العكسية. معرفة هذه القواعد يفتح الباب لحل طيف واسع من التكاملات.

قواعد
التكاملات المثلثية الأساسية
التكامل
النتيجة
\displaystyle\int \sin x\,dx
-\cos x + C
\displaystyle\int \cos x\,dx
\sin x + C
\displaystyle\int \tan x\,dx
-\ln|\cos x| + C
\displaystyle\int \sec^2 x\,dx
\tan x + C
\displaystyle\int \csc^2 x\,dx
-\cot x + C
\displaystyle\int \sec x\,\tan x\,dx
\sec x + C
تحقّق: كل نتيجة — اشتقاقها يعيد المتكامل الأصلي. مثلاً \dfrac{d}{dx}(-\cos x) = \sin x ✓
برهان
لماذا \int \tan x\,dx = -\ln|\cos x|\,?
نكتب \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} ثم نعوّض u = \cos x:
du = -\sin x\,dx \implies \int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx = -\int\frac{1}{u}\,du = -\ln|u| + C = -\ln|\cos x| + C
تقنية
تكامل \sin^2 x و \cos^2 x — تخفيض الأس
لا يمكن تكامل \sin^2 x مباشرة — نستخدم هوية المضاعف:
\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2} \qquad \cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}
\int \sin^2 x\,dx = \int\frac{1-\cos 2x}{2}\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C
\int \cos^2 x\,dx = \int\frac{1+\cos 2x}{2}\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C
أمثلة
تطبيقات
مثال 1 — تعويض مع sin
\int \sin(3x)\,dx
نعوّض u = 3x، فـ du = 3\,dx أي dx = \dfrac{du}{3}:
\int \sin u\cdot\frac{du}{3} = -\frac{1}{3}\cos u + C = -\frac{1}{3}\cos(3x) + C
مثال 2 — sin³x بالهوية
\int \sin^3 x\,dx
نكتب \sin^3 x = \sin x\cdot\sin^2 x = \sin x(1-\cos^2 x)، ثم نعوّض u = \cos x، du = -\sin x\,dx:
\int \sin x(1-\cos^2 x)\,dx = -\int(1-u^2)\,du = -u + \frac{u^3}{3} + C = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + C
مثال 3 — تكامل محدود
\int_0^{\pi/2} \cos x\,dx
\[\bigl[\sin x\bigr]_0^{\pi/2} = \sin\tfrac{\pi}{2} - \sin 0 = 1 - 0 = 1\]
مثال 4 — \cos^2 x بتخفيض الأس
\int_0^{\pi} \cos^2 x\,dx
\[\int_0^{\pi}\frac{1+\cos 2x}{2}\,dx = \left[\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}\right]_0^{\pi} = \frac{\pi}{2} + 0 - 0 - 0 = \frac{\pi}{2}\]
1️⃣ \int\sin x\,dx = -\cos x+C  ،  \int\cos x\,dx = \sin x+C
2️⃣ \int\tan x\,dx = -\ln|\cos x|+C — مشتقة المقام في البسط
3️⃣ لتكامل \sin^2 x أو \cos^2 x استخدم هوية المضاعف أولاً
4️⃣ للأس الفردي \sin^{2k+1}x: افصل \sin x واستخدم \sin^2 x = 1-\cos^2 x ثم عوّض
5️⃣ مع الزاوية المركبة \sin(ax): التعويض u=ax يعطي معامل \tfrac{1}{a}

📝اختبار الدرس

التكاملات المثلثية

1 / 3
ما ناتج التكامل؟
∫ sin(x) dx

الدرس التالي

تطبيقات مختلفة للتكامل

ودّك تثبّت فهمك؟ جرّب اختبار الدرس قبل المتابعة 👆

التالي
التكامل بالأجزاء Integration by partsتطبيقات مختلفة للتكامل