درس 9

التكامل بالأجزاء Integration by parts

ماذا لو كان التكامل ضرب دالتين مختلفتين ولا يمكن حله بالتعويض؟ هنا يأتي التكامل بالأجزاء — وهو عكس قاعدة ضرب الاشتقاق.

القاعدة
صيغة التكامل بالأجزاء
مشتقة حاصل الضرب تعطي: \dfrac{d}{dx}[u\,v] = u'v + uv'، بالتكامل على الطرفين:
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
نختار u — الدالة التي تبسّط عند الاشتقاق
← كثيرات الحدود، ln، arctan
نختار dv — الدالة التي يسهل تكاملها
← eˣ، sin، cos
قاعدة
LIATE — كيف تختار u؟
اختر u بحسب هذا الترتيب — الأعلى في القائمة يكون u:
L
اللوغاريتمية  \ln x,\ \log x
I
العكسية المثلثية  \arctan,\ \arcsin
A
الجبرية  x^n,\ x^2+1
T
المثلثية  \sin x,\ \cos x
E
الأسية  e^x,\ a^x
أمثلة
تطبيقات التكامل بالأجزاء
مثال 1 — كثير حدود × أسية
\int x\,e^x\,dx
u = x \implies du = dx
dv = e^x dx \implies v = e^x
\int x\,e^x\,dx = x\,e^x - \int e^x\,dx = x\,e^x - e^x + C = e^x(x-1) + C
مثال 2 — لوغاريتم (بالأجزاء مرة واحدة)
\int \ln x\,dx
نكتب \ln x = \ln x \cdot 1 ونطبّق الأجزاء:
u = \ln x \implies du = \dfrac{1}{x}dx
dv = dx \implies v = x
\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - \int 1\,dx = x\ln x - x + C
مثال 3 — كثير حدود × مثلثية
\int x\,\cos x\,dx
u = x \implies du = dx
dv = \cos x\,dx \implies v = \sin x
\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x + C
مثال 4 — تطبيق مرتين (x² eˣ)
\int x^2\,e^x\,dx
نطبّق الأجزاء مرتين — في كل مرة ينخفض أس x بمقدار 1:
u=x^2,\ dv=e^x dx \implies x^2 e^x - 2\int x\,e^x\,dx
\[= x^2 e^x - 2\bigl[e^x(x-1)\bigr] + C = e^x(x^2 - 2x + 2) + C\]
1️⃣ الصيغة: \displaystyle\int u\,dv = uv - \int v\,du
2️⃣ اختر u بقاعدة LIATE — الأعلى في القائمة يكون u
3️⃣ \int v\,du يجب أن يكون أبسط من التكامل الأصلي — وإلا أعد الاختيار
4️⃣ أحياناً تحتاج تطبيق الأجزاء أكثر من مرة
5️⃣ تحقّق بالاشتقاق: اشتق جوابك للتأكد ✓

📝اختبار الدرس

التكامل بالأجزاء

1 / 3
لحساب ∫ x·eˣ dx بالأجزاء، ما الاختيار الصحيح لـ u و dv؟

الدرس التالي

تكامل الدوال المثلثية الأساسية

ودّك تثبّت فهمك؟ جرّب اختبار الدرس قبل المتابعة 👆

التالي
التكامل بالتعويضتكامل الدوال المثلثية الأساسية