درس 8

التكامل بالتعويض

كثير من التكاملات لا تُحل مباشرة بالقواعد الأساسية. التعويض بـ u هو أداة تحوّل التكامل المعقد إلى تكامل بسيط — بتغيير المتغير من x إلى u.

الفكرة
ما هو التعويض؟
التعويض مبني على قاعدة السلسلة في الاشتقاق — معكوساً:
\int f(g(x))\cdot g'(x)\,dx = \int f(u)\,du \qquad \text{حيث } u = g(x)
إذا رأيت داخل التكامل دالة مركبة ومشتقتها موجودة في نفس التكامل — فالتعويض هو الحل.
خطوات
كيف تطبّق التعويض؟
1
اختر u — عادةً الجزء الداخلي من الدالة المركبة
2
اشتق: \dfrac{du}{dx} = u' ← اكتب du = u'\,dx ← حل لإيجاد dx = \dfrac{du}{u'}
3
عوّض في التكامل — يجب أن يختفي x تماماً ويبقى u فقط
4
احسب التكامل بدلالة u
5
ارجع وعوّض u = g(x) للحصول على الجواب بدلالة x
أمثلة
تطبيقات التعويض
مثال 1 — تعويض مباشر
\int 2x\,(x^2+1)^5\,dx
1 u = x^2+1
2 du = 2x\,dx
3 التكامل يصبح: \displaystyle\int u^5\,du
4 = \dfrac{u^6}{6} + C
5 = \dfrac{(x^2+1)^6}{6} + C
مثال 2 — تعديل الثابت
\int x\,e^{x^2}\,dx
1 u = x^2
2 du = 2x\,dx \implies x\,dx = \dfrac{du}{2}
3 \displaystyle\int e^u \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int e^u\,du
4 = \dfrac{1}{2}e^u + C
5 = \dfrac{1}{2}e^{x^2} + C
مثال 3 — العودة للـ ln
\int \frac{\cos x}{\sin x}\,dx
1 u = \sin x
2 du = \cos x\,dx
3 \displaystyle\int \frac{1}{u}\,du
4 = \ln|u| + C
5 = \ln|\sin x| + C
مثال 4 — تكامل محدود: تغيير الحدود
\int_0^1 2x\,(x^2+1)^3\,dx
1 u = x^2+1 ، du = 2x\,dx
حدود عند x=0: u=1    عند x=1: u=2
3 \displaystyle\int_1^2 u^3\,du = \left[\frac{u^4}{4}\right]_1^2 = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}
في التكامل المحدود: غيّر الحدود بدلالة u مباشرة — لا حاجة للرجوع إلى x.
1️⃣ اختر u = الجزء الداخلي من الدالة المركبة
2️⃣ تأكد أن مشتقة u موجودة في التكامل (أو تختلف فقط بثابت)
3️⃣ بعد التعويض يجب أن يختفي x تماماً
4️⃣ في التكامل المحدود: غيّر الحدود بدلالة u أو ارجع لـ x في النهاية
5️⃣ تحقّق بالاشتقاق: اشتق جوابك للتأكد من صحته ✓

📝اختبار الدرس

التكامل بالتعويض (u-substitution)

1 / 3
لحساب ∫ 2x(x²+1) dx بالتعويض، ما هو الاختيار الأنسب لـ u؟

الدرس التالي

التكامل بالأجزاء Integration by parts

ودّك تثبّت فهمك؟ جرّب اختبار الدرس قبل المتابعة 👆

التالي
هل التكامل عملية ضرب (مفهوم عميق)التكامل بالأجزاء Integration by parts