استثناء في قاعدة القوة للتكامل

لماذا

قاعدة القوة لا تنطبق على \(x^{-1}\)

نُطبّق قاعدة القوة على \(x^n\):

\[\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\]

عند \(n = -1\) تصبح:

\[\int x^{-1}\,dx = \frac{x^{0}}{0} + C = \frac{1}{0} + C \;\; \longrightarrow \;\; \text{غير معرّف!}\]

القسمة على صفر مستحيلة — لهذا نحتاج إلى قاعدة مختلفة لـ \(\dfrac{1}{x}\).

قاعدة

قاعدة اللوغاريتم الطبيعي

برهان

لماذا اللوغاريتم؟ — التحقق بالاشتقاق

التكامل هو عكس الاشتقاق. نتحقق بأن نشتق \(\ln|x|\):

\[\frac{d}{dx}\ln|x| = \frac{1}{x} \;\checkmark\]

إذن \(\ln|x|\) هي الدالة الأصلية لـ \(\dfrac{1}{x}\) — وهذا بالضبط ما نحتاجه.

أمثلة

تطبيقات قاعدة اللوغاريتم

مثال 1 — تكامل محدود: \[\int_1^e \frac{1}{x}\,dx = \Big[\ln|x|\Big]_1^e = \ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1\]

مثال 2 — حدود أخرى: \[\int_2^5 \frac{1}{x}\,dx = \Big[\ln|x|\Big]_2^5 = \ln 5 - \ln 2 = \ln\frac{5}{2} \approx 0.916\]

مثال 3 — \(x\) سالب: القيمة المطلقة تجعل القاعدة تعمل للأعداد السالبة أيضاً: \[\int_{-3}^{-1} \frac{1}{x}\,dx = \Big[\ln|x|\Big]_{-3}^{-1} = \ln 1 - \ln 3 = -\ln 3 \approx -1.099\]

1️⃣ قاعدة القوة تفشل عند \(n = -1\) لأنها تعطي قسمة على صفر

2️⃣ الاستثناء: \(\displaystyle\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C\)

3️⃣ نكتب \(\ln|x|\) لأن اللوغاريتم يشترط أن تكون القيمة موجبة

4️⃣ التحقق: \(\dfrac{d}{dx}\ln|x| = \dfrac{1}{x}\) ✓