درس 6

تعميم قاعدة اللوغاريتم الطبيعي في التكامل

رأينا أن \displaystyle\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C. هذه القاعدة تتعمّم: في أي وقت يكون البسط هو مشتقة المقام بالضبط، نستخدم اللوغاريتم الطبيعي مباشرة.

قاعدة
التعميم — المشتقة في البسط
إذا كان البسط هو مشتقة المقام تماماً:
\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln|f(x)| + C
لماذا؟ بالتعويض u = f(x)، فإن du = f'(x)\,dx، فيصبح التكامل \displaystyle\int \frac{1}{u}\,du = \ln|u| + C = \ln|f(x)| + C
كيف
كيف تتعرّف على النمط؟
1
حدّد المقام f(x)
2
اشتق المقام: f'(x)
3
قارن البسط بـ f'(x) — إذا تطابقا (أو تناسبا) فالجواب \ln|f(x)|
إذا كان البسط مضروباً في ثابت، أخرج الثابت خارج التكامل أو اضبطه بالتعويض.
أمثلة
تطبيقات القاعدة العامة
مثال 1
\int \frac{2x}{x^2+1}\,dx
المقام f(x) = x^2+1، مشتقته f'(x) = 2x — وهو البسط بالضبط.
\int \frac{2x}{x^2+1}\,dx = \ln|x^2+1| + C = \ln(x^2+1) + C
(بما أن x^2+1 > 0 دائماً، القيمة المطلقة غير ضرورية)
مثال 2
\int \frac{3x^2}{x^3-5}\,dx
المقام f(x) = x^3-5، مشتقته f'(x) = 3x^2 — وهو البسط بالضبط.
\int \frac{3x^2}{x^3-5}\,dx = \ln|x^3-5| + C
مثال 3 — البسط ليس المشتقة بالضبط
\int \frac{x}{x^2+4}\,dx
المقام f(x) = x^2+4، مشتقته f'(x) = 2x، لكن البسط x فقط — ينقصه معامل 2. نُعوّض بإضافة وطرح المعامل:
\int \frac{x}{x^2+4}\,dx = \frac{1}{2}\int \frac{2x}{x^2+4}\,dx = \frac{1}{2}\ln(x^2+4) + C
مثال 4 — دالة مثلثية
\int \tan x\,dx
نكتب \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}، ومشتقة \cos x هي -\sin x.
\int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx = -\int \frac{-\sin x}{\cos x}\,dx = -\ln|\cos x| + C
1️⃣ إذا كان البسط = مشتقة المقام → الجواب \ln|\text{المقام}|
2️⃣ إذا كان البسط = ثابت × مشتقة المقام → اضرب خارج التكامل في \dfrac{1}{k} حيث k هو الثابت
3️⃣ تحقّق دائماً بالاشتقاق: \dfrac{d}{dx}\ln|f(x)| = \dfrac{f'(x)}{f(x)} ✓

📝اختبار الدرس

التكامل بقاعدة اللوغاريتم العامة

1 / 3
ما ناتج التكامل؟
∫ 2x/(x²+1) dx

الدرس التالي

هل التكامل عملية ضرب (مفهوم عميق)

ودّك تثبّت فهمك؟ جرّب اختبار الدرس قبل المتابعة 👆

التالي
استثناء في قاعدة القوة للتكاملهل التكامل عملية ضرب (مفهوم عميق)