استثناء في قاعدة القوة للتكامل – التكامل: أساسيات ومفاهيم

رأينا أن قاعدة القوة تنجح مع كل أس — ما عدا حالة واحدة استثنائية. عندما $n = -1$ ، تنهار القاعدة تماماً، وتحتاج إلى قاعدة مختلفة كلياً تعتمد على اللوغاريتم الطبيعي.

لماذا

قاعدة القوة لا تنطبق على

x^{-1}

نُطبّق قاعدة القوة على

x^n

\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C

عند

n = -1

تصبح:

\int x^{-1}\,dx = \frac{x^{0}}{0} + C = \frac{1}{0} + C \;\; \longrightarrow \;\; \text{غير معرّف!}

القسمة على صفر مستحيلة — لهذا نحتاج إلى قاعدة مختلفة لـ

\dfrac{1}{x}

قاعدة

قاعدة اللوغاريتم الطبيعي

للتكامل غير المحدود:

\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C

نكتب

|x|

وليس

x

لأن اللوغاريتم لا يُعرَّف للأعداد السالبة، لكن

\dfrac{1}{x}

معرّفة لكل

x \neq 0

برهان

لماذا اللوغاريتم؟ — التحقق بالاشتقاق

التكامل هو عكس الاشتقاق. نتحقق بأن نشتق

\ln|x|

\frac{d}{dx}\ln|x| = \frac{1}{x} \;\checkmark

إذن

\ln|x|

هي الدالة الأصلية لـ

\dfrac{1}{x}

— وهذا بالضبط ما نحتاجه.

أمثلة

تطبيقات قاعدة اللوغاريتم

مثال 1 — تكامل محدود: \[\int_1^e \frac{1}{x}\,dx = \Big[\ln|x|\Big]_1^e = \ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1\]

مثال 2 — حدود أخرى: \[\int_2^5 \frac{1}{x}\,dx = \Big[\ln|x|\Big]_2^5 = \ln 5 - \ln 2 = \ln\frac{5}{2} \approx 0.916\]

مثال 3 — $x$ سالب: القيمة المطلقة تجعل القاعدة تعمل للأعداد السالبة أيضاً: \[\int_{-3}^{-1} \frac{1}{x}\,dx = \Big[\ln|x|\Big]_{-3}^{-1} = \ln 1 - \ln 3 = -\ln 3 \approx -1.099\]

1️⃣ قاعدة القوة تفشل عند

n = -1

لأنها تعطي قسمة على صفر

2️⃣ الاستثناء:

\displaystyle\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C

3️⃣ نكتب

\ln|x|

لأن اللوغاريتم يشترط أن تكون القيمة موجبة

4️⃣ التحقق:

\dfrac{d}{dx}\ln|x| = \dfrac{1}{x}

✓