درس 8

التكامل بالتعويض

كثير من التكاملات لا تُحل مباشرة بالقواعد الأساسية. التعويض بـ \(u\) هو أداة تحوّل التكامل المعقد إلى تكامل بسيط — بتغيير المتغير من \(x\) إلى \(u\).

الفكرة
ما هو التعويض؟
التعويض مبني على قاعدة السلسلة في الاشتقاق — معكوساً:
\[\int f(g(x))\cdot g'(x)\,dx = \int f(u)\,du \qquad \text{حيث } u = g(x)\]
إذا رأيت داخل التكامل دالة مركبة ومشتقتها موجودة في نفس التكامل — فالتعويض هو الحل.
خطوات
كيف تطبّق التعويض؟
1
اختر \(u\) — عادةً الجزء الداخلي من الدالة المركبة
2
اشتق: \(\dfrac{du}{dx} = u'\) ← اكتب \(du = u'\,dx\) ← حل لإيجاد \(dx = \dfrac{du}{u'}\)
3
عوّض في التكامل — يجب أن يختفي \(x\) تماماً ويبقى \(u\) فقط
4
احسب التكامل بدلالة \(u\)
5
ارجع وعوّض \(u = g(x)\) للحصول على الجواب بدلالة \(x\)
أمثلة
تطبيقات التعويض
مثال 1 — تعويض مباشر
\[\int 2x\,(x^2+1)^5\,dx\]
1 \(u = x^2+1\)
2 \(du = 2x\,dx\)
3 التكامل يصبح: \(\displaystyle\int u^5\,du\)
4 \(= \dfrac{u^6}{6} + C\)
5 \(= \dfrac{(x^2+1)^6}{6} + C\)
مثال 2 — تعديل الثابت
\[\int x\,e^{x^2}\,dx\]
1 \(u = x^2\)
2 \(du = 2x\,dx \implies x\,dx = \dfrac{du}{2}\)
3 \(\displaystyle\int e^u \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int e^u\,du\)
4 \(= \dfrac{1}{2}e^u + C\)
5 \(= \dfrac{1}{2}e^{x^2} + C\)
مثال 3 — العودة للـ ln
\[\int \frac{\cos x}{\sin x}\,dx\]
1 \(u = \sin x\)
2 \(du = \cos x\,dx\)
3 \(\displaystyle\int \frac{1}{u}\,du\)
4 \(= \ln|u| + C\)
5 \(= \ln|\sin x| + C\)
مثال 4 — تكامل محدود: تغيير الحدود
\[\int_0^1 2x\,(x^2+1)^3\,dx\]
1 \(u = x^2+1\) ، \(du = 2x\,dx\)
حدود عند \(x=0\): \(u=1\)    عند \(x=1\): \(u=2\)
3 \(\displaystyle\int_1^2 u^3\,du = \left[\frac{u^4}{4}\right]_1^2 = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}\)
في التكامل المحدود: غيّر الحدود بدلالة \(u\) مباشرة — لا حاجة للرجوع إلى \(x\).
1️⃣ اختر \(u\) = الجزء الداخلي من الدالة المركبة
2️⃣ تأكد أن مشتقة \(u\) موجودة في التكامل (أو تختلف فقط بثابت)
3️⃣ بعد التعويض يجب أن يختفي \(x\) تماماً
4️⃣ في التكامل المحدود: غيّر الحدود بدلالة \(u\) أو ارجع لـ \(x\) في النهاية
5️⃣ تحقّق بالاشتقاق: اشتق جوابك للتأكد من صحته ✓

اختبار الدرس

1
لحساب ∫ 2x(x²+1) dx بالتعويض، ما هو الاختيار الأنسب لـ u؟
2
ما ناتج التكامل؟
∫ x·eˣ² dx
3
احسب التكامل المحدود:
∫ from 0 to 1   2x(x²+1)⁵ dx
التكامل بالتعويض – التكامل: أساسيات ومفاهيم | أكاديمية موسى