درس 3

العلاقة بين الدالة و مشتقتها (النظرية الأساسية للتكامل و التفاضل)

ما العلاقة بين الدالة \(f(x)\) والدالة الأصلية \(F(x)\)؟ الفكرة الجوهرية: المساحة المتراكمة تحت منحنى \(f(x)\) من نقطة ثابتة حتى \(x\) هي بالضبط قيمة \(F(x)\). هذه العلاقة هي جوهر النظرية الأساسية في حساب التفاضل والتكامل.

نظرية

النظرية الأساسية في حساب التفاضل والتكامل

إذا كانت \(F(x)\) هي الدالة الأصلية لـ \(f(x)\)، أي أن \(F'(x) = f(x)\)، فإن:

\[\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\]

أي أن المساحة تحت منحنى \(f(x)\) من \(a\) إلى \(b\) تساوي الفرق بين قيمتَي الدالة الأصلية عند الطرفين.

فهم

كيف ترتبط المساحة بالدالة الأصلية؟

الدالة المساحية \(A(x)\): عرّف \(A(x)\) كمجموع المساحة تحت \(f(x)\) من 0 حتى \(x\). \[A(x) = \int_0^x f(t)\,dt\] كلما تحرّكنا يميناً، تزداد المساحة — وبالتالي تزداد \(A(x)\).

المساحة = فرق الدالة الأصلية: المساحة بين \(a\) و \(b\) لا تحتاج إلى مجاميع ريمان — يكفي أن نحسب: \[F(b) - F(a)\] الفرق بين قيمتَي \(F\) عند الطرفين يعطينا المساحة مباشرةً.

مثال

تطبيق النظرية الأساسية

أوجد المساحة تحت \(f(x) = x^2\) من 1 إلى 3.

\[F(x) = \frac{x^3}{3}\] \[\int_1^3 x^2\,dx = F(3) - F(1) = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}\]

1️⃣ الدالة الأصلية \(F(x)\) تقيس المساحة المتراكمة تحت \(f(x)\) — قيمتها تنمو كلما اتسعت المساحة

2️⃣ \(\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\) — لا حاجة لمجاميع ريمان، يكفي تقييم \(F\) عند الطرفين

3️⃣ التفاضل والتكامل عمليتان عكسيتان: \(F'(x) = f(x)\)

4️⃣ ثابت التكامل \(C\) يختفي عند حساب التكامل المحدود لأن \(F(b)-F(a)\) يُلغيه

اختبار الدرس

1

إذا كانت F(x) هي الدالة الأصلية لـ f(x)، فما قيمة المساحة المظلّلة بين a وb؟

2

احسب: ∫₁⁴ 1 dx باستخدام الدالة الأصلية F(x) = x

3

احسب المساحة تحت f(x) = x² من 0 إلى 3، علماً أن F(x) = x³/3