تطبيقات مختلفة للتكامل

تطبيق 1

المساحة بين منحنيين

إذا كانت \(f(x) \geq g(x)\) على \([a,b]\)، فالمساحة بينهما: نطرح المنحنى الأسفل من الأعلى في كل نقطة، ثم نكامل.

\[\text{تقاطع: } x^2 = x+2 \implies x=-1,\; x=2\] \[A = \int_{-1}^{2}(x+2-x^2)\,dx = \left[\frac{x^2}{2}+2x-\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2} = \frac{9}{2}\]

تطبيق 2

حجم جسم الدوران — طريقة الأقراص

عند تدوير المنطقة تحت \(f(x)\) حول محور \(x\)، يتكوّن جسم دوران. كل شريحة رفيعة تُشكّل قرصاً نصف قطره \(f(x)\):

\[V = \pi\int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx = \pi\int_0^4 x\,dx = \pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4 = 8\pi\]

تطبيق 3

حجم جسم الدوران — طريقة الحلقات

إذا دارت المنطقة بين منحنيين \(f(x) \geq g(x)\) حول محور \(x\)، تتكوّن حلقات (washer):

\[V = \pi\int_0^1(x - x^4)\,dx = \pi\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^5}{5}\right]_0^1 = \pi\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{5}\right) = \frac{3\pi}{10}\]

خطوات

كيف تحل مسائل المساحة والحجم

تطبيق 4

طول القوس

طول المنحنى \(y=f(x)\) من \(a\) إلى \(b\) يُحسب بتجميع أطوال عناصر صغيرة \(ds\): الفكرة: كل عنصر صغير \(ds = \sqrt{dx^2+dy^2} = \sqrt{1+(dy/dx)^2}\,dx\)

\[f'(x)=\sqrt{x} \implies L = \int_0^3\sqrt{1+x}\,dx = \left[\tfrac{2}{3}(1+x)^{3/2}\right]_0^3 = \tfrac{2}{3}(8-1)=\tfrac{14}{3}\]

1️⃣ المساحة بين منحنيين: \(\displaystyle A=\int_a^b[f(x)-g(x)]\,dx\) حيث \(f \geq g\)

2️⃣ حجم الأقراص: \(\displaystyle V=\pi\int_a^b[f(x)]^2\,dx\)

3️⃣ حجم الحلقات: \(\displaystyle V=\pi\int_a^b\bigl([f(x)]^2-[g(x)]^2\bigr)\,dx\)

4️⃣ طول القوس: \(\displaystyle L=\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx\)

5️⃣ أوجد حدود التكامل من نقاط التقاطع \(f(x)=g(x)\)

6️⃣ تأكد دائماً أيهما أعلى قبل الطرح — وإلا ستحصل على مساحة سالبة