تعميم قاعدة اللوغاريتم الطبيعي في التكامل

قاعدة

التعميم — المشتقة في البسط

إذا كان البسط هو مشتقة المقام تماماً:

\[\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln|f(x)| + C\]

لماذا؟ بالتعويض \(u = f(x)\)، فإن \(du = f'(x)\,dx\)، فيصبح التكامل \(\displaystyle\int \frac{1}{u}\,du = \ln|u| + C = \ln|f(x)| + C\)

كيف

كيف تتعرّف على النمط؟

أمثلة

تطبيقات القاعدة العامة

مثال 1

\[\int \frac{2x}{x^2+1}\,dx\]

المقام \(f(x) = x^2+1\)، مشتقته \(f'(x) = 2x\) — وهو البسط بالضبط. \[\int \frac{2x}{x^2+1}\,dx = \ln|x^2+1| + C = \ln(x^2+1) + C\] (بما أن \(x^2+1 > 0\) دائماً، القيمة المطلقة غير ضرورية)

مثال 2

\[\int \frac{3x^2}{x^3-5}\,dx\]

المقام \(f(x) = x^3-5\)، مشتقته \(f'(x) = 3x^2\) — وهو البسط بالضبط. \[\int \frac{3x^2}{x^3-5}\,dx = \ln|x^3-5| + C\]

مثال 3 — البسط ليس المشتقة بالضبط

\[\int \frac{x}{x^2+4}\,dx\]

المقام \(f(x) = x^2+4\)، مشتقته \(f'(x) = 2x\)، لكن البسط \(x\) فقط — ينقصه معامل 2. نُعوّض بإضافة وطرح المعامل: \[\int \frac{x}{x^2+4}\,dx = \frac{1}{2}\int \frac{2x}{x^2+4}\,dx = \frac{1}{2}\ln(x^2+4) + C\]

مثال 4 — دالة مثلثية

\[\int \tan x\,dx\]

نكتب \(\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}\)، ومشتقة \(\cos x\) هي \(-\sin x\). \[\int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx = -\int \frac{-\sin x}{\cos x}\,dx = -\ln|\cos x| + C\]

1️⃣ إذا كان البسط = مشتقة المقام → الجواب \(\ln|\text{المقام}|\)

2️⃣ إذا كان البسط = ثابت × مشتقة المقام → اضرب خارج التكامل في \(\dfrac{1}{k}\) حيث \(k\) هو الثابت

3️⃣ تحقّق دائماً بالاشتقاق: \(\dfrac{d}{dx}\ln|f(x)| = \dfrac{f'(x)}{f(x)}\) ✓