درس 1
مفهوم التكامل الأساسي
جرّب بنفسك
اختبار الدرس
1
تمثّل المنطقة المظلّلة في الرسم مساحةً تحت منحنى f(x) من 0 إلى 3. ماذا يعبّر عنها الرمز التالي؟
∫₀³ f(x) dx
2
يُظهر الرسم تقريب مجاميع ريمان بـ 4 مستطيلات. ماذا يحدث لدقة التقريب كلما زاد عدد المستطيلات n؟
3
في الرسم، المنحنى f(x) يقع فوق المحور السيني في الفترة [a, c] وتحته في [c, b]. ما قيمة ∫ₐᵇ f(x) dx؟
الشرح
التكامل هو أحد أعمدة حساب التفاضل والتكامل. الفكرة الجوهرية: إيجاد المساحة المحصورة بين منحنى دالة والمحور السيني. نبدأ بتقريب هذه المساحة بمستطيلات — وهو ما يُعرف بـ مجاميع ريمان — ثم نأخذ النهاية عندما يصير عرض المستطيلات صفراً فنحصل على التكامل المحدود بدقة تامة.
مثال:
أوجد مساحة المنطقة المحصورة بين \(f(x) = x^2\) والمحور السيني من \(0\) إلى \(2\)
\[\int_0^2 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3} - 0 = \mathbf{\dfrac{8}{3}}\]
1️⃣ التكامل = مجموع مساحات مستطيلات لا نهائية العدد تحت المنحنى
2️⃣ مجاميع ريمان هي التقريب — التكامل هو النهاية عندما \(n \to \infty\)
3️⃣ الرمز \(\int f(x)\,dx\) يعني "جمع" قيم \(f(x)\) على طول الفترة
4️⃣ إذا كان \(f(x)\) أسفل المحور السيني، فالمساحة سالبة