درس 28
طول المماس وجزأي القاطع
طول المماس وجزأي القاطع
إذا رُسم من نقطة J خارج الدائرة مماس يلامس الدائرة عند K، وقاطع يقطع الدائرة عند L (الأقرب) و M (الأبعد)، فإن مربع طول المماس يساوي حاصل ضرب القاطع كاملًا في جزئه الخارجي.
(JK)² = JL × JM
المقارنة مع نظرية قطع الوتر (داخل الدائرة)
في كلتا الحالتين، نضرب طولًا في طول لنحصل على ناتج ثابت يميّز موقع النقطة بالنسبة للدائرة. الفرق في موقع النقطة وفي أطراف الضرب:
داخل الدائرة — وتران متقاطعان
AB × BC = DB × BE
خارج الدائرة — مماس وقاطع
(JK)² = JL × JM
- عندما تكون نقطة التقاطع داخل الدائرة: نضرب جزأي كل وتر، والمساواة بين وترين.
- عندما تكون النقطة خارج الدائرة: نضرب القاطع كاملًا في جزئه الخارجي، ويُستبدل أحد الوترين بمماس، فيصبح طوله مربعًا (لأن جزأيه يتطابقان عند نقطة التماس).
لماذا؟
المثلثان △JKL و △JMK متشابهان (الزاوية عند J مشتركة، والزاوية المماسية ∠JKL تساوي الزاوية المحيطية ∠JMK لأنهما يقابلان القوس نفسه)، فتتناسب الأضلاع: JK/JL = JM/JK، ومنه (JK)² = JL × JM.
جرّب بنفسك
اختبار الدرس
1
في الشكل، JK مماس و JLM قاطع للدائرة من النقطة J. إذا كان JK = 6 و JL = 4، فما طول JM؟
2
في الشكل، JK مماس و JLM قاطع للدائرة من النقطة J. إذا كان JL = 3 و JM = 12، فما طول JK؟
3
أيٌّ من العلاقات التالية تنطبق عندما تكون نقطة التقاطع داخل الدائرة (وتران متقاطعان عند B)؟