زمن العمل المشترك – تحضير اختبار القدرات

الفكرة الرياضية — معدّل العمل

المعدّل (النسبة في وحدة الزمن): إذا أنجز شخصٌ العمل كاملاً في زمن (ز)، فإنه ينجز في الساعة الواحدة جزءاً من العمل مقداره:

معدّل العمل = \frac{١}{الزمن}

وعند العمل معاً تُجمع المعدّلات (لأن في الساعة الواحدة يُنجز كلٌّ منهما نصيبه):

المفاهيم المستخدمة: المعدّل (المقلوب ١/الزمن) ، وجمع الكسور ، ثم أخذ المقلوب لإيجاد الزمن.

إذا أنجز شخصٌ العمل في زمن ز١ ، وآخر في زمن ز٢ ، فإن زمن إنجازه معاً يُحسب من:

\frac{١}{الزمن المطلوب} = \frac{١}{زمن الأول} + \frac{١}{زمن الثاني}

يدهن عاملٌ غرفة في ٦ ساعات، وآخر في ٣ ساعات. كم يستغرقان معاً؟

الحل
نجمع المعدّلين (بتوحيد المقامات):

\frac{١}{الزمن} = \frac{١}{٦} + \frac{١}{٣} = \frac{١}{٦} + \frac{٢}{٦} = \frac{٣}{٦} = \frac{١}{٢}

نأخذ المقلوب لإيجاد الزمن:

الزمن = ٢ ساعة

صنبور يملأ خزاناً في ٤ ساعات، وآخر يملؤه في ٤ ساعات. كم يستغرقان معاً؟

الحل

\frac{١}{الزمن} = \frac{١}{٤} + \frac{١}{٤} = \frac{٢}{٤} = \frac{١}{٢}

الزمن = ٢ ساعة

صنبور يملأ الخزان في ساعتين، وآخر في ٣ ساعات، وثالث يُفرّغه في ٦ ساعات. فُتحت الثلاثة معاً. كم يستغرق الملء؟

الحل
المُفرِّغ يُطرح معدّله لأنه يعمل عكس الملء:

\frac{١}{الزمن} = \frac{١}{٢} + \frac{١}{٣} - \frac{١}{٦} = \frac{٣ + ٢ - ١}{٦} = \frac{٤}{٦} = \frac{٢}{٣}

نأخذ المقلوب:

الزمن = \frac{٣}{٢} = ١٫٥ ساعة