عدد الهدايا

القاعدة
كل طالب يعطي هديةً لكل واحدٍ من بقيّة الطلاب (وعددهم س − ١): $$\text{عدد الهدايا}=س\times (س-\mathrm{١})$$

إعطاء هدية «من شخص إلى آخر» هو اختيار مرتّب لشخصين من (ن)، أي تباديل ٢ من ن.
قانون التباديل العام: $$\text{ل}(\text{ن},\text{ر})=\frac{\text{ن}!}{(\text{ن}-\text{ر})!}$$ نعوّض ر = ٢ (هديةٌ بين شخصين): $$\text{ل}(\text{ن},\mathrm{٢})=\frac{\text{ن}!}{(\text{ن}-\mathrm{٢})!}$$ نفُكّ المضروب: ن! = ن × (ن − ١) × (ن − ٢)! ، ثم نختصر (ن − ٢)!: $$\frac{\text{ن}\times (\text{ن}-\mathrm{١})\times (\text{ن}-\mathrm{٢})!}{(\text{ن}-\mathrm{٢})!}=\text{ن}\times (\text{ن}-\mathrm{١})$$

الحل
نعوّض عن (س) بعدد الطلاب = ٤: $$\text{عدد الهدايا}=\mathrm{٤}\times (\mathrm{٤}-\mathrm{١})=\mathrm{٤}\times \mathrm{٣}=\mathrm{١٢}$$

الحل
نعوّض عن (س) بعدد الطلاب = ٥: $$\text{عدد الهدايا}=\mathrm{٥}\times (\mathrm{٥}-\mathrm{١})=\mathrm{٥}\times \mathrm{٤}=\mathrm{٢٠}$$

	الهدايا (التباديل / الترتيب مهمّ)	المصافحات والمباريات (التوافيق / الترتيب غير مهمّ)
المثال	أ → ب تختلف عن ب → أ	أ ↔ ب تُعدّ مرّة واحدة
القانون	س × (س − ١)	$\frac{س\times (س-\mathrm{١})}{\mathrm{٢}}$
عند س = ٤	١٢	٦