درس 27

التوزيع ذو الحدين: تجربة ذات الحدين

التوزيع ذو الحدين: كثير من التجارب الاحتمالية يكون لها نتيجتان فقط؛ نجاح أو فشل أو يمكن جعلها كذلك. فمثلًا في مسائل الاختيار من متعدد التي لها 5 إجابات، يمكن تصنيف نتائج الإجابة عن كل فقرة إلى صح، أو خطأ، ويمكن تصنيف نتائج دواء طبي على أنه فعّال أو غير فعّال.

مفهوم أساسي

تجربة ذات الحدين

تجربة ذات الحدين هي تجربة احتمالية تحقق الشروط الآتية:

يُعاد إجراء التجربة لعدد محدد (n) من المحاولات المستقلة (المرات).
كل محاولة لها فقط نتيجتان متوقعتان؛ نجاح S، أو فشل F.
احتمال النجاح P(S) «ويرمز له بالحرف p» هو نفسه في كل محاولة. واحتمال الفشل P(F) «ويرمز له بالحرف q» هو نفسه في كل محاولة ويساوي 1 − p.

ويُمثِّل المتغير العشوائي X عدد مرات النجاح في n من المحاولات.

مثال 1

تمييز التجربة ذات الحدين

حدّد ما إذا كانت كل تجربة مما يأتي ذات حدين، أو يمكن جعلها كذلك. وإذا كانت تجربة ذات حدين، فاكتب قيم n , p , q، وقيم المتغير العشوائي الممكنة، وإذا لم تكن كذلك فبيِّن السبب.

(a) تُبيِّن نتيجة لمسح إحصائي داخل إحدى المدارس أن 68% من الطلاب يمتلكون حاسبة بيانية. إذا تم اختيار 6 طلاب عشوائيًّا، وسؤالهم عمَّا إذا كانوا يمتلكون هذه الآلة؛ وكان المتغير العشوائي X يُمثِّل عدد الطلاب الذين يملكون الحاسبة البيانية، فإن:

هذه التجربة تحقق شروط تجربة ذات الحدين وهي:

كل طالب تم اختياره يُمثّل محاولة، وعملية اختيار الطلاب الستة تتكون من محاولات مستقلة.
للتجربة نتيجتان متوقعتان: الطالب يملك الحاسبة البيانية S، أو لا يملكها F.
احتمال النجاح نفسه لكل طالب تم اختياره P(S) = 0.68.

وفي هذه التجربة n = 6 , p = P(S) = 0.68. احتمال الفشل q = 1 − p، أي أن: q = 1 − 0.68 = 0.32. ويُمثِّل X عدد الطلاب الذين يملكون حاسبة بيانية من الَّذين تم اختيارهم، أي أن: X = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

(b) يحتوي صندوق على 52 بطاقة، وخُصِّص لكل 13 بطاقة أحد الألوان الآتية: الأحمر، الأسود، الأخضر، الأبيض. سحبت منه 5 بطاقات الواحدة تلو الأخرى دون إرجاع. وكان المتغير العشوائي X يدل على عدد البطاقات المسحوبة ذات اللون الأخضر.

في هذه التجربة، كل بطاقة يتم سحبها تُمثّل محاولة، وبما أنه يتم الاحتفاظ بالبطاقة التي تم اختيارها (السحب دون إرجاع)، فإن المحاولات غير مستقلة، واحتمال النجاح في كل محاولة يختلف عن الأخرى؛ لذا فإن هذه التجربة ليست ذات حدين.

✓ تحقق من فهمك

(1A) أظهرت نتيجة لمسح إحصائي في إحدى المدارس ذات الزي الموحَّد أن 61% يحبون الزي الجديد، وأن 24% لا يحبونه. إذا تم اختيار 20 طالبًا بشكل عشوائي، وسؤالهم عمَّا إذا كانوا يحبون الزي الجديد. وكان المتغير العشوائي X يدل على عدد الطلاب الذين يحبون الزي الجديد.

(1B) أجاب خالد عن اختبار مكوّن من 20 فقرة من نوع «الاختيار من متعدد» لكل فقرة منها أربع إجابات، واحدة فقط صحيحة (دون معرفة علمية بموضوع الاختبار). وكان المتغير العشوائي X يدل على عدد الإجابات الصحيحة.

يُسمى توزيع النتائج المتوقَّعة لتجربة ذات حدين والاحتمالات المرتبطة بها توزيع ذات الحدين. ويمكن حساب الاحتمالات في هذا التوزيع باستعمال الصيغة ₙC_X p^Xq^n−X التي تمثل حدًّا في مفكوك (p + q)ⁿ.

مفهوم أساسي

صيغة احتمال ذات الحدين

احتمال النجاح في X مرة من n من المحاولات المستقلة في تجربة ذات الحدين هو:

P(X) = ₙC_X p^Xq^{n − X} = n!(n − X)! X! p^Xq^{n − X}

حيث p احتمال النجاح، و q احتمال الفشل في المحاولة الواحدة.

مثال 2 — من واقع الحياة

التوزيع ذو الحدين

اختبار: في اختبار نهائي، أكد 35% من الطلاب أنهم أجابوا بشكل اعتيادي. إذا اختير 5 طلاب عشوائيًّا، وتم سؤالهم عما إذا أدّوا الاختبار بشكل اعتيادي. وكان المتغير العشوائي X يدل على عدد الطلاب الذين أجابوا بنعم عن السؤال، فكوِّن جدولًا للتوزيع ذي الحدين، ومثِّله بالأعمدة، ثم أوجد احتمال أن يجيب 3 طلاب على الأقل عن السؤال بنعم.

هذه تجربة ذات حدين فيها: n = 5 , p = 0.35 , q = 1 − 0.35 = 0.65. احسب احتمال كل قيمة ممكنة من قيم X مستعملًا صيغة احتمال ذات الحدين:

P(0) = ₅C₀ · 0.35⁰ · 0.65⁵ ≈ 0.116
P(1) = ₅C₁ · 0.35¹ · 0.65⁴ ≈ 0.312
P(2) = ₅C₂ · 0.35² · 0.65³ ≈ 0.336
P(3) = ₅C₃ · 0.35³ · 0.65² ≈ 0.181
P(4) = ₅C₄ · 0.35⁴ · 0.65¹ ≈ 0.049
P(5) = ₅C₅ · 0.35⁵ · 0.65⁰ ≈ 0.005

وفيما يأتي جدول التوزيع ذي الحدين للمتغير X، وتمثيله بالأعمدة:

X	P(X)
0	0.116
1	0.312
2	0.336
3	0.181
4	0.049
5	0.005

لإيجاد احتمال أن 3 طلاب على الأقل أجابوا بنعم، أوجد P(3) + P(4) + P(5):

P(X ≥ 3) = P(3) + P(4) + P(5) احتمال 3 طلاب على الأقل
= 0.181 + 0.049 + 0.005 P(3) = 0.181 ، P(4) = 0.049 ، P(5) = 0.005
= 0.235 = 23.5% بسّط

💡 اختيار الاحتمالات: أحيانًا يكون من الأسهل أن تجد احتمال الفشل وتطرح هذه النتيجة من 1 لتجد احتمال النجاح؛ لأنهما احتمالان متتامان.

✓ تحقق من فهمك

(2) كليات: يدرس في إحدى الكليات 48% من الطلاب لغة عالمية خلال سنة التخرج. إذا اختير 7 خريجين عشوائيًّا، وتم سؤالهم عمَّا إذا درسوا لغة عالمية في سنتهم الأخيرة. وكان المتغير العشوائي X يدل على عدد الطلاب الذين أجابوا بنعم، فكوِّن التوزيع ذا الحدين، ومثِّله بالأعمدة، ثم أوجد احتمال أن يجيب أقل من 4 طلاب بنعم.

1️⃣ ثلاثة شروط: عدد محدد n من المحاولات المستقلة ، نتيجتان فقط (S أو F) ، واحتمال النجاح p ثابت في كل محاولة و q = 1 − p

2️⃣ السحب دون إرجاع يكسر الاستقلال — يتغير الاحتمال من محاولة لأخرى فلا تكون التجربة ذات حدين

3️⃣ يمكن جعل تجربة متعددة النتائج ذات حدين بتصنيف النتائج إلى «نجاح» و«كل ما عداه فشل» — وعندها q = 1 − p وليس النسبة المعلنة للرافضين فقط

4️⃣ صيغة الاحتمال: P(X) = ₙC_X p^Xq^n−X ، ولعبارات «على الأقل / أقل من» اجمع احتمالات القيم المناسبة أو استعمل المتمم

جرّب بنفسك

اختبار الدرس

التوزيع ذو الحدين — تمييز التجربة

1 / 8

أيٌّ مما يأتي ليس من شروط تجربة ذات الحدين؟