القيمة المطلقة (المقياس) لعدد مركب

القيمة المطلقة (المقياس) لعدد مركب

العدد المركب \(z = a + bi\) يمثل نقطة في المستوى المركب، حيث \(a\) هو الجزء الحقيقي و \(b\) هو الجزء التخيلي. القيمة المطلقة (أو المقياس) للعدد المركب هي المسافة من نقطة الأصل إلى النقطة \((a, b)\) في المستوى المركب.

صيغة القيمة المطلقة

\[|z| = |a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}\]

تُحسب القيمة المطلقة للعدد المركب باستخدام نظرية فيثاغورس. العدد المركب \(a + bi\) يشكل مثلثاً قائم الزاوية حيث:

• الضلع الأول (الجزء الحقيقي): طوله \(a\)

• الضلع الثاني (الجزء التخيلي): طوله \(|b|\)

• الوتر (المسافة من الأصل): طوله \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\)

علاقة بالإحداثيات القطبية

إذا كتبنا العدد المركب بالصيغة القطبية \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\)، فإن \(r = |z|\) هو المقياس (أو نصف قطر). الزاوية \(\theta\) تُسمى الحجة أو السعة (Argument) للعدد المركب.

حيث:

• \(a = r\cos\theta\)

• \(b = r\sin\theta\)

أمثلة

مثال 1: احسب القيمة المطلقة للعدد المركب \(z = 3 + 4i\).

\[|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\]

مثال 2: احسب القيمة المطلقة للعدد المركب \(z = -2 + 2i\).

\[|z| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2.83\]

مثال 3: احسب القيمة المطلقة للعدد المركب \(z = 5\) (عدد حقيقي بحت).

\[|z| = \sqrt{5^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5\]

خصائص القيمة المطلقة

• \(|z| \geq 0\) دائماً، و \(|z| = 0\) فقط عندما \(z = 0\)

• \(|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|\) (المقياس تحت الضرب)

• \(\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}\) (المقياس تحت القسمة)

• \(|z| = |\overline{z}|\) (المقياس متساوي للعدد ومرافقه)