تحويل الإحداثيات الديكارتية إلى الإحداثيات القطبية

إذا كانت النقطة $P$ محددة في الإحداثيات الديكارتية بـ $(x, y)$ ، فإن إحداثياتها القطبية $(r, \theta)$ يمكن إيجادها باستخدام علاقات هندسية.

صيغ التحويل

r = \sqrt{x^2 + y^2} \quad , \quad \theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) \text{ أو } \arctan\left(\frac{y}{x}\right)

حيث:

• $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ — تُحسب من نظرية فيثاغورس (الوتر يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعي الضلعين)

• $\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)$ — الزاوية من المحور الموجب (يجب الانتباه إلى الربع الذي تقع فيه النقطة)

نتيجة $\arctan\left(\frac{y}{x}\right)$ قد تكون غير صحيحة إذا لم نأخذ في الاعتبار الربع الذي تقع فيه النقطة. يجب تصحيح الزاوية حسب موقع النقطة:

الربع الأول (I): $x > 0, y > 0$ ⟹ $\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)$

الربع الثاني (II): $x < 0, y > 0$ ⟹ $\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) + \pi$ أو $+ 180°$

الربع الثالث (III): $x < 0, y < 0$ ⟹ $\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) + \pi$ أو $+ 180°$

الربع الرابع (IV): $x > 0, y < 0$ ⟹ $\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)$ أو إضافة $360°$ لجعلها موجبة

حالات خاصة:

• عندما $x = 0, y > 0$ : $r = y$ و $\theta = 90°$ أو $\frac{\pi}{2}$ راديان

• عندما $x = 0, y < 0$ : $r = |y|$ و $\theta = 270°$ أو $\frac{3\pi}{2}$ راديان (أو $-90°$ )

مثال 1: حول النقطة $(3, 4)$ من الإحداثيات الديكارتية إلى القطبية.

r = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

\theta = \arctan\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53.13° \approx 0.927 \text{ rad}

إذًا الإحداثيات القطبية هي $(5, 53.13°)$ تقريباً

مثال 2: حول النقطة $(-1, 1)$ من الإحداثيات الديكارتية إلى القطبية.

r = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}

\theta = \arctan\left(\frac{1}{-1}\right) + 180° = -45° + 180° = 135°

إذًا الإحداثيات القطبية هي $(\sqrt{2}, 135°)$ — النقطة في الربع الثاني