درس 15

القيمة المطلقة (المقياس) لعدد مركب

القيمة المطلقة (المقياس) لعدد مركب

العدد المركب $z = a + bi$ يمثل نقطة في المستوى المركب، حيث $a$ هو الجزء الحقيقي و $b$ هو الجزء التخيلي. القيمة المطلقة (أو المقياس) للعدد المركب هي المسافة من نقطة الأصل إلى النقطة $(a, b)$ في المستوى المركب.

صيغة القيمة المطلقة

|z| = |a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}

تُحسب القيمة المطلقة للعدد المركب باستخدام نظرية فيثاغورس. العدد المركب $a + bi$ يشكل مثلثاً قائم الزاوية حيث:

• الضلع الأول (الجزء الحقيقي): طوله $a$

• الضلع الثاني (الجزء التخيلي): طوله $|b|$

• الوتر (المسافة من الأصل): طوله $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$

علاقة بالإحداثيات القطبية

إذا كتبنا العدد المركب بالصيغة القطبية $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ ، فإن $r = |z|$ هو المقياس (أو نصف قطر). الزاوية $\theta$ تُسمى الحجة أو السعة (Argument) للعدد المركب.

حيث:

• $a = r\cos\theta$

• $b = r\sin\theta$

أمثلة

مثال 1: احسب القيمة المطلقة للعدد المركب $z = 3 + 4i$ .

|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

مثال 2: احسب القيمة المطلقة للعدد المركب $z = -2 + 2i$ .

|z| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2.83

مثال 3: احسب القيمة المطلقة للعدد المركب $z = 5$ (عدد حقيقي بحت).

|z| = \sqrt{5^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5

خصائص القيمة المطلقة

• $|z| \geq 0$ دائماً، و $|z| = 0$ فقط عندما $z = 0$

• $|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$ (المقياس تحت الضرب)

• $\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$ (المقياس تحت القسمة)

• $|z| = |\overline{z}|$ (المقياس متساوي للعدد ومرافقه)

✏️

جرّب بنفسك

📝اختبار الدرس

اختبار القيمة المطلقة لعدد مركب

1 / 6

احسب القيمة المطلقة للعدد المركب z = 3 + 4i

تحويل الإحداثيات الديكارتية إلى الإحداثيات القطبية