المسافة بين نقطتين في الإحداثيات القطبية

المسافة بين نقطتين في الإحداثيات القطبية

في الإحداثيات الديكارتية، المسافة بين نقطتين \((x_1, y_1)\) و \((x_2, y_2)\) تُحسب باستخدام صيغة المسافة:

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]

في الإحداثيات القطبية، نملك نقطتين \((r_1, \theta_1)\) و \((r_2, \theta_2)\). كيف نحسب المسافة بينهما؟

صيغة المسافة في الإحداثيات القطبية

\[d = \sqrt{r_1^2 + r_2^2 - 2r_1r_2\cos(\theta_2 - \theta_1)}\]

هذه الصيغة مشتقة من قانون جيب التمام في المثلث الذي تشكله نقطة الأصل والنقطتان \(P_1\) و \(P_2\).

في المثلث، لدينا:

• الضلع الأول: من الأصل إلى \(P_1\) بطول \(r_1\)

• الضلع الثاني: من الأصل إلى \(P_2\) بطول \(r_2\)

• الزاوية بينهما: \(\theta_2 - \theta_1\) (أو \(\theta_1 - \theta_2\)، والنتيجة نفسها لأن جيب التمام زوجي)

الضلع الثالث (الذي يصل بين النقطتين) بطول \(d\)، وباستخدام قانون جيب التمام:

حالات خاصة

عندما تكون الزاويتان متساويتين: إذا كانت \(\theta_1 = \theta_2\)، فإن \(\cos(0) = 1\)، وتصبح الصيغة:

\[d = \sqrt{r_1^2 + r_2^2 - 2r_1r_2} = |r_1 - r_2|\]

عندما تكون الزاويتان متعامدتان: إذا كانت \(\theta_2 - \theta_1 = 90°\) أو \(\pi/2\) راديان، فإن \(\cos(90°) = 0\)، وتصبح:

\[d = \sqrt{r_1^2 + r_2^2}\]

مثال عملي

أوجد المسافة بين النقطتين \(P_1(3, 30°)\) و \(P_2(4, 120°)\) في الإحداثيات القطبية.

الحل: نستخدم الصيغة:

\[d = \sqrt{3^2 + 4^2 - 2(3)(4)\cos(120° - 30°)}\]

\[d = \sqrt{9 + 16 - 24\cos(90°)}\]

\[d = \sqrt{25 - 24(0)} = \sqrt{25} = 5\]

إذًا المسافة بين النقطتين هي 5 وحدات.