تحويل الإحداثيات الديكارتية إلى الإحداثيات القطبية

تحويل الإحداثيات الديكارتية إلى الإحداثيات القطبية

إذا كانت النقطة \(P\) محددة في الإحداثيات الديكارتية بـ \((x, y)\)، فإن إحداثياتها القطبية \((r, \theta)\) يمكن إيجادها باستخدام علاقات هندسية.

صيغ التحويل

\[r = \sqrt{x^2 + y^2} \quad , \quad \theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) \text{ أو } \arctan\left(\frac{y}{x}\right)\]

حيث:

• \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\) — تُحسب من نظرية فيثاغورس (الوتر يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعي الضلعين)

• \(\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)\) — الزاوية من المحور الموجب (يجب الانتباه إلى الربع الذي تقع فيه النقطة)

تحديد الربع والزاوية

نتيجة \(\arctan\left(\frac{y}{x}\right)\) قد تكون غير صحيحة إذا لم نأخذ في الاعتبار الربع الذي تقع فيه النقطة. يجب تصحيح الزاوية حسب موقع النقطة:

الربع الأول (I): \(x > 0, y > 0\) ⟹ \(\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)\)

الربع الثاني (II): \(x < 0, y > 0\) ⟹ \(\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) + \pi\) أو \(+ 180°\)

الربع الثالث (III): \(x < 0, y < 0\) ⟹ \(\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) + \pi\) أو \(+ 180°\)

الربع الرابع (IV): \(x > 0, y < 0\) ⟹ \(\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)\) أو إضافة \(360°\) لجعلها موجبة

حالات خاصة:

• عندما \(x = 0, y > 0\): \(r = y\) و \(\theta = 90°\) أو \(\frac{\pi}{2}\) راديان

• عندما \(x = 0, y < 0\): \(r = |y|\) و \(\theta = 270°\) أو \(\frac{3\pi}{2}\) راديان (أو \(-90°\))

أمثلة

مثال 1: حول النقطة \((3, 4)\) من الإحداثيات الديكارتية إلى القطبية.

\[r = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\]

\[\theta = \arctan\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53.13° \approx 0.927 \text{ rad}\]

إذًا الإحداثيات القطبية هي \((5, 53.13°)\) تقريباً

مثال 2: حول النقطة \((-1, 1)\) من الإحداثيات الديكارتية إلى القطبية.

\[r = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\]

\[\theta = \arctan\left(\frac{1}{-1}\right) + 180° = -45° + 180° = 135°\]

إذًا الإحداثيات القطبية هي \((\sqrt{2}, 135°)\) — النقطة في الربع الثاني