تقدير النهايات عند قيم محددة – رياضيات ثالث ثانوي الفصل الثاني

تقدير النهايات عند قيم محددة: يتمحور علمُ التفاضلِ والتكاملِ حول مسألتين أساسيتين:

إيجاد معادلة مماس منحنى دالة عند نقطة واقعة عليه.
إيجاد مساحة المنطقة الواقعة بين التمثيل البياني لدالة والمحور x.

وتُعدُّ مفاهيم النهايات أساسية لحل هاتين المسألتين. تعلمت سابقًا أنه إذا اقتربت قيم f(x) من قيمة وحيدة L، كلما اقتربت قيم x من العدد c من كلا الجهتين، فإن نهاية f(x) عندما تقترب x من c هي L، وتكتب على الصورة limx → cf(x) = L. يمكنك تطبيق مفهوم النهاية لتقدير نهاية f(x) عندما تقترب x من العدد c؛ أي limx → cf(x)، وذلك من خلال تمثيل الدالة بيانيًّا، أو إنشاء جدولٍ لقيم f(x).

💡 المفردات: النهاية من جهة واحدة (one-sided limit) والنهاية من جهتين (two-sided limit).

مثال 1

تقدير النهاية (النهاية تساوي قيمة الدالة)

قدِّر limx → 2(−3x + 1) باستعمال التمثيل البياني، ثم عزِّز إجابتك باستعمال جدول قيمٍ.

التحليل بيانيًّا: مثِّل الدالة الخطية y = −3x + 1 بيانيًّا باستعمال النقطتين (0, 1) , (1, −2).

يُبيِّن التمثيل البياني للدالة f(x) = −3x + 1، أنه كلما اقتربت x من العدد 2، فإن قيم f(x) المقابلة تقترب من العدد −5؛ لذا فإن بإمكاننا تقدير أن:

limx → 2(−3x + 1) = −5

التعزيز عدديًّا: كوّن جدولًا لقيم f(x)، وذلك باختيار قيم x القريبة من العدد 2 من كلا الجهتين.

x	1.9	1.99	1.999	2	2.001	2.01	2.1
f(x)	−4.7	−4.97	−4.997		−5.003	−5.03	−5.3

يبيِّن نمط قيم f(x) أنه كلما اقتربت x من العدد 2 من اليمين أو من اليسار، فإن قيم f(x) تقترب من العدد −5، وذلك يعزِّز تحليلنا البياني.

✓ تحقق من فهمك

قدِّر كل نهاية مما يأتي باستعمال التمثيل البياني، ثم عزِّز إجابتك باستعمال جدول قيمٍ.

(1A) limx → −3(1 − 5x)

(1B) limx → 1(x² − 1)

في المثال 1، لاحظ أن limx → 2(−3x + 1) هي نفسها f(2)، إلا أن نهاية الدالة لا تساوي دائمًا قيمة الدالة.

مثال 2

تقدير النهاية (النهاية لا تساوي قيمة الدالة)

قدِّر limx → 3x² − 9x − 3 باستعمال التمثيل البياني، ثم عزِّز إجابتك باستعمال جدولِ قيمٍ.

التحليل بيانيًّا: مجال الدالة R − {3}.

يُبيِّن التمثيل البياني للدالة f(x) = x² − 9x − 3 المجاور، أنه كلما اقتربت x من العدد 3، فإن قيمة f(x) المقابلة لها تقترب من العدد 6؛ لذا فإن بإمكاننا تقدير أن:

limx → 3x² − 9x − 3 = 6

التعزيز عدديًّا: كوّن جدولًا لقيم f(x)، وذلك باختيار قيم x القريبة من العدد 3 من كلا الجهتين.

x	2.9	2.99	2.999	3	3.001	3.01	3.1
f(x)	5.9	5.99	5.999		6.001	6.01	6.1

يُبيِّن نمط قيم f(x)، أنه كلما اقتربت قيم x من العدد 3، فإن قيم f(x) تقترب من العدد 6، وذلك يعزِّز تحليلنا البياني — رغم أن f(3) غير معرَّفة.

✓ تحقق من فهمك

قدِّر كل نهاية مما يأتي باستعمال التمثيل البياني، ثم عزِّز إجابتك من خلال جدول قيم.

(2A) limx → −2x + 2x² − 4

(2B) limx → 5x² − 4x − 5x − 5

1️⃣ النهاية limx → cf(x) = L تعني أن قيم f(x) تقترب من L كلما اقتربت x من c من كلا الجهتين

2️⃣ قدّر النهاية بيانيًّا (تتبع المنحنى من الجهتين) ثم عزّز عدديًّا بجدول قيم قريبة من c

3️⃣ النهاية لا تساوي دائمًا قيمة الدالة — قد توجد النهاية حتى لو كانت الدالة غير معرَّفة عند c (فجوة في التمثيل)