درس 17

ضرب الأعداد المركبة على الصورة القطبية وقسمتها

الصيغ الأساسية

للعددين المركبين بالصيغة القطبية:

\(z_1 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1), \quad z_2 = r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)\)

صيغة الضرب:

\[z_1 z_2 = r_1 r_2 [\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)]\]

صيغة القسمة: حيث \(r_2 \neq 0\) و \(z_2 \neq 0\)

\[\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} [\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2)]\]

عند ضرب عددين مركبين بالصيغة القطبية:

• نضرب المقاييس (الأنصاف القطرية): \(r_1 \times r_2\)

• نجمع الزوايا (السعات): \(\theta_1 + \theta_2\)

عند قسمة عددين مركبين:

• نقسم المقاييس: \(\frac{r_1}{r_2}\)

• نطرح الزوايا: \(\theta_1 - \theta_2\)

مثال 1 - الضرب: احسب \(z_1 z_2\) حيث \(z_1 = 2(\cos 30° + i\sin 30°)\) و \(z_2 = 3(\cos 45° + i\sin 45°)\)

\[z_1 z_2 = 2 \times 3 [\cos(30° + 45°) + i\sin(30° + 45°)] = 6(\cos 75° + i\sin 75°)\]

مثال 2 - القسمة: احسب \(\frac{z_1}{z_2}\) حيث \(z_1 = 6(\cos 120° + i\sin 120°)\) و \(z_2 = 2(\cos 30° + i\sin 30°)\)

\[\frac{z_1}{z_2} = \frac{6}{2} [\cos(120° - 30°) + i\sin(120° - 30°)] = 3(\cos 90° + i\sin 90°)\]

مثال 3 - الضرب بنفس الزاوية: احسب \(z^2\) حيث \(z = 2(\cos 60° + i\sin 60°)\)

\[z^2 = z \times z = 2 \times 2 [\cos(60° + 60°) + i\sin(60° + 60°)] = 4(\cos 120° + i\sin 120°)\]

• الضرب والقسمة والأس تصبح أسهل بكثير في الصورة القطبية

• يمكن تطبيق نظرية ديموافر بسهولة: \(z^n = r^n[\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)]\)

• تطبيقات في الهندسة والفيزياء والهندسة الكهربائية

اختبار الدرس

1

إذا كان z₁ = 2(cos 30° + i sin 30°) و z₂ = 3(cos 45° + i sin 45°)، فأوجد z₁z₂

2

أوجد z₁/z₂ حيث z₁ = 8(cos 120° + i sin 120°) و z₂ = 2(cos 30° + i sin 30°)

3

احسب z₁z₂ عندما z₁ = 3(cos 60° + i sin 60°) و z₂ = 4(cos 60° + i sin 60°)

4

إذا كان z = 2(cos 45° + i sin 45°)، فأوجد z²

5

احسب z₁/z₂ عندما z₁ = 5(cos 25° + i sin 25°) و z₂ = 2(cos 10° + i sin 10°)

6

احسب z₁z₂ حيث z₁ = 6(cos 110° + i sin 110°) و z₂ = 2(cos 70° + i sin 70°)