نظرية ديموافر

الصيغة الأساسية

إذا كان العدد المركب بالصيغة القطبية: $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ وكان $n$ عدداً صحيحاً موجباً، فإن:

\[z^n = [r(\cos\theta + i\sin\theta)]^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)\]

هذه هي نظرية ديموافر (De Moivre's Theorem)، وهي تبسط حساب قوى الأعداد المركبة بشكل كبير.

توضيح النظرية

عند رفع عدد مركب إلى قوة معينة باستخدام الصيغة القطبية:

• نرفع المقياس (المعامل) إلى نفس القوة: $r^n$

• نضرب الزاوية (الحجة) في القوة: $n\theta$

هذا أسهل بكثير من استخدام الصيغة الجبرية (الديكارتية) والتي تتطلب عمليات جبرية معقدة.

أمثلة

مثال 1: احسب $[2(\cos 30° + i\sin 30°)]^3$

z^3 = 2^3(\cos(3 \times 30°) + i\sin(3 \times 30°)) = 8(\cos 90° + i\sin 90°) = 8i

مثال 2: احسب $[3(\cos 45° + i\sin 45°)]^2$

z^2 = 3^2(\cos(2 \times 45°) + i\sin(2 \times 45°)) = 9(\cos 90° + i\sin 90°) = 9i

مثال 3: احسب $[(\cos 60° + i\sin 60°)]^5$

z^5 = (\cos(5 \times 60°) + i\sin(5 \times 60°)) = \cos 300° + i\sin 300°

= \cos(-60°) + i\sin(-60°) = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}

تطبيقات النظرية

• إيجاد جذور الأعداد المركبة: يمكن استخدام النظرية لإيجاد جميع الجذور النونية لعدد مركب

• حساب القوى العالية: تسهل حساب $z^n$ للقوى الكبيرة جداً

• تطبيقات فيزيائية: تستخدم في الموجات والتذبذبات والتطبيقات الهندسية

• الهندسة الكهربائية: تطبيقات في تحليل الدوائر والإشارات المتناوبة

ملاحظات مهمة

• إذا كانت $n\theta \geq 360°$ ، يمكن طرح $360°$ (أو $2\pi$ ) للحصول على زاوية معادلة

• النظرية تعمل أيضاً للقوى السالبة والكسرية بشكل موسع

• الصيغة $[r(\cos\theta + i\sin\theta)]^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)$ تُكتب أحياناً كـ $[r \text{ cis } \theta]^n = r^n \text{ cis } n\theta$

نظرية ديموافر