ضرب الأعداد المركبة على الصورة القطبية وقسمتها

الصيغ الأساسية

للعددين المركبين بالصيغة القطبية:

$z_1 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1), \quad z_2 = r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)$

صيغة الضرب:

\[z_1 z_2 = r_1 r_2 [\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)]\]

صيغة القسمة: حيث $r_2 \neq 0$ و $z_2 \neq 0$

\[\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} [\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2)]\]

عند ضرب عددين مركبين بالصيغة القطبية:

• نضرب المقاييس (الأنصاف القطرية): $r_1 \times r_2$

• نجمع الزوايا (السعات): $\theta_1 + \theta_2$

عند قسمة عددين مركبين:

• نقسم المقاييس: $\frac{r_1}{r_2}$

• نطرح الزوايا: $\theta_1 - \theta_2$

مثال 1 - الضرب: احسب $z_1 z_2$ حيث $z_1 = 2(\cos 30° + i\sin 30°)$ و $z_2 = 3(\cos 45° + i\sin 45°)$

\[z_1 z_2 = 2 \times 3 [\cos(30° + 45°) + i\sin(30° + 45°)] = 6(\cos 75° + i\sin 75°)\]

مثال 2 - القسمة: احسب $\frac{z_1}{z_2}$ حيث $z_1 = 6(\cos 120° + i\sin 120°)$ و $z_2 = 2(\cos 30° + i\sin 30°)$

\[\frac{z_1}{z_2} = \frac{6}{2} [\cos(120° - 30°) + i\sin(120° - 30°)] = 3(\cos 90° + i\sin 90°)\]

مثال 3 - الضرب بنفس الزاوية: احسب $z^2$ حيث $z = 2(\cos 60° + i\sin 60°)$

\[z^2 = z \times z = 2 \times 2 [\cos(60° + 60°) + i\sin(60° + 60°)] = 4(\cos 120° + i\sin 120°)\]

• الضرب والقسمة والأس تصبح أسهل بكثير في الصورة القطبية

• يمكن تطبيق نظرية ديموافر بسهولة: $z^n = r^n[\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)]$

• تطبيقات في الهندسة والفيزياء والهندسة الكهربائية