الجذور المختلفة لعدد مركب

الصيغة الأساسية

لأي عدد صحيح موجب $n \geq 2$ ، للعدد المركب بالصيغة القطبية $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ ، توجد $n$ جذور نونية مختلفة يمكن إيجادها باستخدام الصيغة:

z_k = r^{1/n}\left(\cos\frac{\theta + 2k\pi}{n} + i\sin\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right)

حيث $k = 0, 1, 2, \ldots, n-1$

توضيح الصيغة

عند إيجاد الجذور النونية لعدد مركب:

• المقياس: نأخذ الجذر النوني للمقياس: $r^{1/n}$

• الزوايا: نقسم الزاوية مع إضافة مضاعفات $2\pi$ على $n$

• عدد الجذور: يكون لدينا بالضبط $n$ جذور مختلفة لأي عدد مركب غير صفري

ملاحظة: عندما $k = n$ ، تتطابق الزاوية مع حالة $k = 0$ ، مما يعني أن الجذور تبدأ بالتكرار.

أمثلة

مثال 1: أوجد الجذرين التربيعيين للعدد $z = 4(\cos 60° + i\sin 60°)$

z_0 = \sqrt{4}\left(\cos\frac{60° + 0°}{2} + i\sin\frac{60°}{2}\right) = 2(\cos 30° + i\sin 30°)

z_1 = \sqrt{4}\left(\cos\frac{60° + 360°}{2} + i\sin\frac{420°}{2}\right) = 2(\cos 210° + i\sin 210°)

مثال 2: أوجد الجذور الثلاثية (التكعيبية) للعدد $z = 8(\cos 0° + i\sin 0°) = 8$

z_0 = 2(\cos 0° + i\sin 0°) = 2

z_1 = 2(\cos 120° + i\sin 120°)

z_2 = 2(\cos 240° + i\sin 240°)

الخصائص الهندسية

جذور العدد المركب تشكل رؤوس مضلع منتظم في المستوى المركب:

• جميع الجذور لها نفس المسافة من الأصل: $r^{1/n}$

• الزوايا بين الجذور المتتالية متساوية: $\frac{360°}{n} = \frac{2\pi}{n}$

• تشكل الجذور الرؤوس الـ $n$ لمضلع منتظم مركزه في نقطة الأصل

تطبيقات مهمة

• حل المعادلات: إيجاد جميع حلول معادلات من الشكل $z^n = w$

• الجبر الخطي: إيجاد القيم الذاتية والمتجهات الذاتية

• معالجة الإشارات: تحليل فورييه وتطبيقاته

• الهندسة: بناء المضلعات المنتظمة بأنواعها المختلفة

الجذور المختلفة لعدد مركب