درس 4

طول المتجه في المستوى الإحداثي

طول المتجه هو المسافة بين نقطة بدايته ونقطة نهايته، ويُحسب بتطبيق نظرية فيثاغورس على مكوِّنَيه.

مفهوم أساسي

إذا كان v متجهًا، نقطة بدايته \((x_1, y_1)\)، ونقطة نهايته \((x_2, y_2)\)، فإن طول v يُعطى بالصيغة:

\(|\mathbf{v}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)

وإذا كانت \(\langle a, b \rangle\) هي الصورة الإحداثية للمتجه v فإن:

\(|\mathbf{v}| = \sqrt{a^2 + b^2}\)

مثال 1

إيجاد طول متجه من نقطتَين

أوجد طول المتجه v إذا كانت نقطة بدايته \(A(1, 2)\) ونقطة نهايته \(B(4, 5)\).

\(|\mathbf{v}| = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\)
\(= \sqrt{(4-1)^2+(5-2)^2}\)
\(= \sqrt{9+9} = \sqrt{18} = \mathbf{3\sqrt{2}}\)

مثال 2

إيجاد طول متجه من صورته الإحداثية

أوجد طول المتجه v إذا كانت صورته الإحداثية \(\langle -3, 4 \rangle\).

\(|\mathbf{v}| = \sqrt{a^2+b^2}\)
\(= \sqrt{(-3)^2+4^2}\)
\(= \sqrt{9+16} = \mathbf{\sqrt{25} = 5}\)

1️⃣ طول المتجه = \(\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\) — مشتق من نظرية فيثاغورس

2️⃣ إذا كانت الصورة الإحداثية \(\langle a,b \rangle\) فالطول = \(\sqrt{a^2+b^2}\)

3️⃣ الطول دائمًا موجب ولا يتغير بتغيير موضع المتجه

اختبار الدرس

1

ما طول المتجه v الذي نقطة بدايته A(1, 1) ونقطة نهايته B(4, 4)؟

2

ما طول المتجه v إذا كانت صورته الإحداثية ⟨3, 4⟩؟

3

ما طول المتجه v الذي نقطة بدايته A(−1, −2) ونقطة نهايته B(5, 2)؟

4

ما طول المتجه v = ⟨−4, 0⟩؟