درس 11

التغيُّر المشترك

مفهوم أساسي

التغيُّر المشترك

التعبير اللفظي: تتغيَّر y تغيُّرًا مشتركًا مع x و z إذا وجد عدد k ≠ 0 بحيث y = kxz.

مثال: إذا كانت x = 6, z = −2, y = −60، وكانت y تتغيَّر تغيُّرًا مشتركًا مع x وَ z، فإن:

y = kxz ⟹ −60 = k(6)(−2) ⟹ k = 5
وقيمة y عندما x = 4 ، z = −5 تكون:
y = 5 × 4 × (−5) = −100

💡 إرشاد: يصنّف بعض الرياضيين التغيُّر المشترك بوصفه حالة خاصة من التغيُّر المركّب الذي ستدرسه لاحقًا.

إذا كانت y تتغيَّر تغيُّرًا مشتركًا مع x و z، وعلمتَ بعض القيم، فإنه يمكنك استعمال التناسب لإيجاد القيم الأخرى المجهولة:

y₁ = kx₁z₁ , y₂ = kx₂z₂ ⟹ y₁x₁z₁ = y₂x₂z₂

مثال 2

التغيُّر المشترك

إذا كانت y تتغيَّر تغيُّرًا مشتركًا مع x و z، وكانت y = 20 عندما x = 5 و z = 3، فأوجد قيمة y عندما x = 9 و z = 2.

استعمل تناسبًا يربط القيم بعضها ببعض:

y₁x₁z₁ = y₂x₂z₂ تناسب مشترك
205(3) = y₂9(2) y₁ = 20 ، x₁ = 5 ، z₁ = 3 ، x₂ = 9 ، z₂ = 2
20(9)(2) = 5(3)(y₂) بالضرب التبادلي
360 = 15y₂ بسّط
24 = y₂ اقسم كل من الطرفين على 15

1️⃣ الصورة: y = kxz — تتغيَّر y مع حاصل ضرب متغيرين

2️⃣ طريقتان: التناسب y₁/(x₁z₁) = y₂/(x₂z₂)، أو إيجاد k أولًا ثم التعويض

3️⃣ قارن: الطردي y = kx (متغير واحد)، المشترك y = kxz (متغيران)

اختبار الدرس

1

تتغيَّر y تغيُّرًا مشتركًا مع x و z إذا أمكن كتابتها على الصورة:

2

إذا كانت y تتغيَّر تغيُّرًا مشتركًا مع x و z، وكانت y = −60 عندما x = 6 و z = −2، فما ثابت التغيُّر k؟

3

بمتابعة السؤال السابق (k = 5)، ما قيمة y عندما x = 4 و z = −5؟

4

205(3) = y₂9(2)

إذا كانت y تتغيَّر تغيُّرًا مشتركًا مع x و z، وكانت y = 20 عندما x = 5 و z = 3، فأوجد قيمة y عندما x = 9 و z = 2.

5

إذا كانت r تتغيَّر تغيُّرًا مشتركًا مع v و t، وكانت r = 70 عندما v = 10 و t = 4، فأوجد قيمة r عندما v = 2 و t = 8.

6

إذا كانت y تتغيَّر تغيُّرًا مشتركًا مع x و z حيث k = 3، وكانت y = 90 و z = 5، فما قيمة x؟