درس 16

المتتابعة الهندسية

المتتابعة الهندسية نوع آخر من المتتابعات، ويمكن الحصول على أيِّ حدٍّ من حدودها بضرب الحدّ السابق له مباشرة في عدد ثابت يُسمّى أساس المتتابعة الهندسية أو النسبة المشتركة للمتتابعة.

لاحظ أن المتتابعة 1/16, 1/4, 1, 4, 16 متتابعة هندسية؛ لأن النسبة بين كل حدّ والحدّ السابق له مباشرة هي نسبة ثابتة، أيْ أنَّ كلَّ حدّ في المتتابعة هو 4 أمثال الحدّ السابق له مباشرة:

مثال 4

تحديد المتتابعة الهندسية

بيِّن ما إذا كانت كلٌّ من المتتابعتين الآتيتين هندسية أم لا:

(a) −2, 6, −18, 54, …

أوجد النسبة بين كل حدّين متتاليين:

6−2 = −3 , −186 = −3 , 54−18 = −3

بما أن النسب متساوية، فإن المتتابعة هندسية (النسبة المشتركة r = −3).

(b) 8, 16, 24, 32, …

168 = 2 , 2416 = 1.5 , 3224 ≈ 1.33

بما أن النسب غير متساوية، فإن المتتابعة ليست هندسية. (لكن فروقها ثابتة 8 — فهي متتابعة حسابية!)

مثال 5

تمثيل المتتابعة الهندسية بيانيًّا

المتتابعة 32, 8, 2, … متتابعة هندسية.

(a) أوجد الحدود الثلاثة التالية في هذه المتتابعة:

الخطوة 1: أوجد أساس المتتابعة أو النسبة المشتركة: 832 = 14

الخطوة 2: لإيجاد الحدّ التالي، اضرب الحدّ السابق في العدد 14، وهكذا بضرب كلِّ حدّ في 14 نحصل على الحدود الآتية:

إذن الحدود الثلاثة التالية هي: 12 , 18 , 132

(b) مثّل الحدود الستة الأولى في المتتابعة بيانيًّا:

مجال المتتابعة هو: {1, 2, 3, 4, 5, 6, …}

مدى المتتابعة هو: {32, 8, 2, 1/2, 1/8, 1/32, …}

1️⃣ الهندسية: كل حد = الحد السابق × r (النسبة المشتركة) — قارن: الحسابية كل حد = السابق + d

2️⃣ للتحقق: اقسم كل حد على الذي يسبقه — إن كانت النسب متساوية فهي هندسية (وقد تكون r سالبة أو كسرًا)

3️⃣ تمثيلها البياني نقاط على منحنى أسّي — لا على مستقيم كما في الحسابية

اختبار الدرس

1

تكون المتتابعة هندسية إذا:

2

ما النسبة المشتركة (الأساس) للمتتابعة 1/16, 1/4, 1, 4, 16؟

3

هل المتتابعة −2, 6, −18, 54, … هندسية؟

4

هل المتتابعة 8, 16, 24, 32, … هندسية؟

5

المتتابعة الهندسية 32, 8, 2, … — ما الحدود الثلاثة التالية؟

6

أوجد الحدّين التاليين في المتتابعة الهندسية 7, 21, 63, …