المتتابعات الحسابية – رياضيات ثاني ثانوي الفصل الثاني

المتتابعات الحسابية: المتتابعة مجموعة من الأعداد مرتّبة في نمطٍ محدّدٍ أو ترتيب معين، ويُسمّى كلُّ عدد في المتتابعة حدًّا. ويمكن للمتتابعة أن تكون منتهية أي لها عدد محدّد من الحدود مثل: −2, 0, 2, 4, 6، أو غير منتهية، حيث تستمر إلى ما لا نهاية مثل 0, 1, 2, 3, …. ويُرمز للحدّ الأول في المتتابعة بالرمز a₁، وللحدّ الثاني بالرمز a₂، وهكذا.

مفهوم أساسي

المتتابعات بوصفها دوالّ

التعبير اللفظي: المتتابعة دالّة مجالها مجموعة الأعداد الطبيعية أو مجموعة جزئية منها، ومداها مجموعة جزئية من الأعداد الحقيقية.

الرموز:

عناصر المجال:	1 2 3 … n	ترتيب الحدّ
عناصر المدى:	a₁ a₂ a₃ ⋯ aₙ	حدود المتتابعة

أمثلة:

متتابعة منتهية

3, 6, 9, 12, 15

المجال: {1, 2, 3, 4, 5}

المدى: {3, 6, 9, 12, 15}

متتابعة غير منتهية

3, 6, 9, 12, 15, …

المجال: مجموعة الأعداد الطبيعية جميعها

المدى: مجموعة المضاعفات الطبيعية للعدد 3

يُحدّد كلُّ حدّ في المتتابعة الحسابية بإضافة قيمة ثابتة إلى الحدّ الذي يسبقه مباشرة. وتُسمَّى القيمة الثابتة الفرق المشترك أو الأساس. فالمتتابعة 3, 6, 9, 12, 15 هي متتابعة حسابية؛ لأن لحدودها فرقًا مشتركًا (ثابتًا) بين كل حدٍّ والحدّ الذي يسبقه مقداره 3.

مثال

التعرف على المتتابعة الحسابية

• 3, 6, 9, 12, 15: الفروق +3, +3, +3, +3 ← حسابية، الأساس d = 3

• 17, 13, 9, 5, …: الفروق −4, −4, −4 ← حسابية، الأساس d = −4 (متناقصة)

• 2, 4, 8, 16, …: الفروق +2, +4, +8 ← ليست حسابية (الفرق غير ثابت)

1️⃣ المتتابعة دالّة: المجال ترتيب الحد (1, 2, 3, …) والمدى حدود المتتابعة

2️⃣ الحسابية: كل حد = الحد السابق + ثابت يسمى الفرق المشترك (الأساس) d

3️⃣ للتحقق: اطرح كل حد من الذي يليه — إن كان الفرق ثابتًا فهي حسابية