درس 20

المتسلسلات الهندسية

المتسلسلات الهندسية: يمكنك الحصول على المتسلسلة الهندسية بوضع إشارة الجمع (+) بين حدود المتتابعة الهندسية. ويُرمز لمجموع أول n حدًّا في المتسلسلة بالرمز Sₙ، ويمكنك إيجاده باستعمال أيٍّ من الصيغتين الآتيتين:

مفهوم أساسي

المجموع الجزئي في متسلسلة هندسية

القانون (المعادلة)	المعطيات	مجموع أول n حدًّا من المتسلسلة Sₙ
بالصيغة العامة	a₁ , n , r	Sₙ = a₁(1 − rⁿ)1 − r , r ≠ 1
بالصيغة البديلة	a₁ , aₙ , r	Sₙ = a₁ − aₙ r1 − r , r ≠ 1

مثال 4 — من واقع الحياة

إيجاد مجموع متسلسلة هندسية

بريد إلكتروني: بالعودة إلى مسألة الرسائل، إذا استمر النمط، فما مجموع رسائل البريد الإلكتروني المُرسَلة حتى نهاية المرحلة الثامنة؟

أُرسلت خمس رسائل إلكترونية في المرحلة الأولى، ولدينا 8 مراحل من الرسائل، إذن a₁ = 5, r = 5, n = 8:

Sₙ = a₁(1 − rⁿ)1 − r صيغة المجموع
S₈ = 5(1 − 5⁸)1 − 5 a₁ = 5 ، r = 5 ، n = 8
S₈ = 488280 بسّط

إذن مجموع الرسائل المرسَلة حتى 8 مراحل هو 488280.

مثال 5

المجموع باستعمال رمز المجموع

أوجد مجموع حدود المتسلسلة 10Σk = 34(2)^{k − 1}

لاحظ أن المتسلسلة المُعطاة هندسية؛ لأن صيغة حدودها مُعطاة بدالّة أُسّيّة، إذن r = 2.

لإيجاد الحدّ الأول عوِّض العدد 3 مكان k: a₁ = 4 · 2³⁻¹ = 16

وعدد الحدود هو: n = 10 − 3 + 1 = 8

Sₙ = a₁(1 − rⁿ)1 − r صيغة المجموع
S₈ = 16(1 − 2⁸)1 − 2 a₁ = 16 ، r = 2 ، n = 8
= 4080 استعمل الآلة الحاسبة

1️⃣ الصيغة العامة: Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) حيث r ≠ 1

2️⃣ من رمز المجموع: الأساس r هو أساس الدالّة الأسّيّة، و a₁ بتعويض أول قيمة لـ k، و n = الأعلى − الأدنى + 1

3️⃣ قارن: مجموع الحسابية يستعمل n/2 والوسطَين، ومجموع الهندسية يستعمل قوى الأساس

اختبار الدرس

1

ما صيغة مجموع أول n حدًّا من متسلسلة هندسية (الصيغة العامة)؟

2

أُرسلت 5 رسائل في المرحلة الأولى، وكل مستلم أرسلها إلى 5 آخرين، وهكذا. ما مجموع الرسائل المُرسَلة حتى نهاية المرحلة الثامنة؟

3

بكتيريا تتضاعف أعدادها مع كل انقسام. إذا بدأ المجتمع بعدد 10، فما مجموع أعداد البكتيريا في المراحل الثماني الأولى؟

4

10Σk = 34(2)^{k − 1}

ما الحد الأول a₁ وعدد الحدود n لهذه المتسلسلة؟

5

10Σk = 34(2)^{k − 1}

أوجد مجموع حدود المتسلسلة.

6

6Σk = 13(2)^{k − 1}

أوجد مجموع حدود المتسلسلة.